Свойства фотонов.

Задача 7

Условие

Источник, создающий монохроматический пучок параллельных лучей, за время \Delta t=8 \cdot 10^{-4} с излучает N=5 \cdot 10^{14} фотонов. Лучи пучка падают нормально на площадку площадью S=0,7 см^{2} и создают давление p=1,5 \cdot 10^{-5} Па. При этом 40 \% фотонов отражается, а 60 \% поглощается. Определите длину волны излучения. Постоянная Планка h \approx 6,62 \cdot 10^{-34} \text{Дж} \cdot c .

Решение

Каждый из фотонов имеет импульс q=\frac{h}{\lambda} . Поглощенный фотон передает площадке свой импульс, а отраженный при взаимодействии передает ей в два раза больший импульс (импульс фотона не изменяется по величине, но меняет направление на противоположное). За время \Delta t площадке передается импульс \Delta P=0,6 N \cdot q+0,4 N \cdot 2 q=1,4 N \frac{h}{\lambda} . Сила давления света на площадку pS=\frac{\Delta P}{\Delta t}=1,4 \frac{Nh}{\Delta t \lambda} . Отсюда \lambda=1,4 \frac{Nh}{pS \Delta t} \approx 5,52 \cdot 10^{-7} м=552 нм.

Ответ \lambda=1,4 \frac{Nh}{pS \Delta t} \approx 552 нм.

Задача 8

Условие

Небольшой источник света с очень большой постоянной мощностью испускает свет равномерно во всех направлениях. Мимо этого источника по прямой с постоянной скоростью v=2 м/с движется модель робота с укрепленным на его вертикальной боковой поверхности тонким зеркалом (коэффициент отражения которого практически равен 1). Специальный датчик измеряет силу давления света на зеркало. В некоторый момент времени эта сила достигла максимума, равного F_{m}=0,8 нН , а спустя время t=2,60 с стала равна F=0,1 нН . На каком минимальном расстоянии от центра источника находилась поверхность зеркала во время движения? Чему была равна мощность источника, если известно, что площадь зеркала S=10 см^{2} ?

Решение

Начнем с того, что разберемся, как показания датчика должны зависеть от времени. Так как изучение источника с мощностью P сферически симметрично, а площадь сферы растет пропорционально квадрату ее радиуса, то мощность, приходящаяся на единицу площади сферы радиуса r вокруг центра источника \frac{\Delta P}{\Delta S}(r)=\frac{P}{4 \pi r^{2}} . Ясно, что сила светового давления на зеркало, пропорциональная этой величине, максимальна в точке наибольшего сближения зеркала и источника, где поверхность зеркала к тому же перпендикулярна радиусу, проведенному из центра источника.

1.2.PNG

Пусть искомое минимальное расстояние равно L . C учетом того, что поток импульса светового излучения равен потоку энергии, деленному на скорость света, а при отражении света переданный поверхности импульс в два раза больше падающего, находим, что F_{m}=\frac{PS}{2 \pi C^{2}} , где S - площадь зеркала. При вычислении силы давления в момент времени t нужно заметить, что расстояние до зеркала увеличивается по закону r(t)=\sqrt{L^{2}+x^{2}}=\sqrt{L^{2}+v^{2} t^{2}} , и к тому же в новом положении фотоны падают на зеркало не нормально, а под углом \alpha , определяемом из соотношения \cos (\alpha)=\frac{L}{r} (см. рисунок 1.2). При отражении зеркалу передается удвоенная перпендикулярная зеркалу составляющая импульса падающего фотона, и поэтому

\begin{aligned} & F(t)=\frac{PS}{2 \pi cr^{2}} \cos (\alpha)=F_{m} \frac{L^{3}}{r^{3}}=F_{m} \frac{L^{3}}{\left(L^{2}+v^{2} t^{2}\right)^{3 / 2}} \cdot \text { Как видно, }\end{aligned} \begin{aligned} & \qquad \frac{F_{m}}{F}=\left[1+\left(\frac{vt}{L}\right)^{2}\right]^{3 / 2} \Rightarrow \frac{vt}{L}=\sqrt{\left(\frac{F_{m}}{F}\right)^{2 / 3}-1}=\sqrt{3} \Rightarrow L=\frac{vt}{\sqrt{3}} \approx 3,00 м. \end{aligned} Используя этот результат и данные о площади зеркала, находим P=2 \pi \frac{cL^{2} F_{m}}{S} \approx 13,57 кВт! Действительно, очень мощный источник света.

Ответ L=\frac{vt}{\sqrt{3}} \approx 3,00 м , P=2 \pi \frac{CL^{2} F_{m}}{S} \approx 13,57 кВт.

При освещении фотокатода монохроматическим светом с длиной волны \lambda_0 максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна E_0 , а работа выхода электронов для материала фотокатода равна 3E_0 . Во сколько раз нужно уменьшить длину волны света, чтобы максимальная кинетическая энергия выбитых электронов достигла значения 9E_0 ? В качестве ответа укажите \lambda_0/\lambda в виде целого числа.

Плоская световая волна с интенсивностью I = 0{,}2 Вт/см ^2 падает под углом 60^\circ на плоскую поверхность, у которой коэффициенты отражения и прохождения равны r = 0{,}6 и t = 0{,}3 . Определите давление света на эту поверхность. Скорость света считайте равной 300000 км/с. Ответ запишите в мкПа с точностью до целого значения.