Олимпиадные задачи ч. 1

Задача 1

Условие

Кубик составлен из шести одинаковых проводящих пластин с просверленными по центру одинаковыми отверстиями. В вершины кубика вставлены одинаковые маленькие хорошо проводящие шарики, к которым можно присоединять провода. Диаметры отверстий таковы, что электрическое сопротивление кубика между его соседними вершинами A и B оказалось равным R_{A B}=r=32 кОм. Если через эти вершины пропустить ток I=1 мА в направлении, указанном на рисунке, то разность потенциалов между точкой M (серединой ребра A B ) и вершиной C будет равна U_{M C}=\varphi_{M}-\varphi_{C}=U=2,0 В. Определите сопротивление R_{A C} между точками A и C . Как изменятся сопротивления R_{A B} и R_{A C} , если, не изменяя толщину пластин, увеличить их размеры и размер отверстий в 2 раза?

8_1_2л_3 Решение

Примем потенциал вершины В за ноль. При пропускании через вершины А и \mathrm{B} тока I , из соображений симметрии, получим, что потенциал точки \mathrm{M} равен

\varphi_{M}=\frac{1}{2} \varphi_{A}=\frac{1}{2} I r, а разность потенциалов

U_{A C}=\varphi_{A}-\varphi_{C}=\left(\varphi_{A}-\varphi_{M}\right)+\left(\varphi_{M}-\varphi_{C}\right)=\frac{1}{2} I r+U. Пустим через вершину В ток I в обратном направлении, так, чтобы скомпенсировать выходящий из неё ток I , и выведем этот ток через вершину С. Для этого придётся на вершину С подать потенциал, равный

\varphi_{\mathrm{C}}=-\left(\frac{1}{2} \operatorname{Ir}+U\right). Напомним, что \varphi_{B}=0 . Разность потенциалов между вершинами А и С окажется равной

U_{A C}=\varphi_{A}-\varphi_{C}=2\left(\frac{1}{2} \operatorname{Ir}+U\right)=2 U+I r. По принципу суперпозиции, ток I будет входить в вершину А, а выходить и из вершины \mathrm{C} (из вершины В ток не выходит и не входит). По закону Ома:

R_{A C}=\frac{U_{A C}}{I}=\frac{2 U}{I}+r=36 \ кОм. Пусть длина ребра куба равна a , толщина пластины - d . Заметим, что сопротивление куба R \sim L / S \sim a / a d=1 / d - не зависит от длины a стороны квадрата, где L \sim a - характерный размер, а S \sim a d - характерное поперечное сечение пластины при расчёте сопротивления кубика. Следовательно, при изменении длины стороны квадратной пластины и неизменной её толщине d , сопротивление пластины не изменится.

Ответ R_{A C}=36 \ кОм; сопротивления не изменятся.

Задача 2

Условие

Бесконечная сетка с квадратными ячейками собрана из одинаковых резисторов. В узел A извне втекает ток I (рис.). Оцените силу тока в звене BC с погрешностью не более 10 процентов. Докажите, что погрешность вашей оценки не превышает 10 процентов.

3tok Решение

3soltok Из соображений симметрии очевидно, что из узла A ток разбежится поровну по 4 возможным направлениям. Значит, I_1 = I/4 . В узле B ток делится на 3 части. Из соображений симметрии понятно, что ток, бегущий вправо, будет равен току, бегущему влево. Обозначим эти токи I_2 , а оставшийся ток I_3 . Из соображений симметрии относительно прямой AC следует, что по звену FC тоже течет ток I_2 . Также из симметрии следует, что токи, вытекающие из узла C вверх и вправо равны друг другу.

Учитывая, что в узел C втекает ток 2I_2 , получаем, что вытекающие из него токи тоже равны I_2 . Для узла B: I_1 = I/4 = 2I_2 + I_3 \Rightarrow I_3 =

I/4 - 2I_2.

Напряжение между узлами B и E можно посчитать двумя способами: I_3R +

I_4R = I_2R + I_2R \Rightarrow I_4 = 2I_2 - I_3.

Для узла D: I_3 = 2I_4 + I_5. Так как I_5 > 0 , то I_3 > 2I_4 .

Преобразуем I_3 > 2(2I_2 - I_3) \Rightarrow 3I_3 > 4I_2 \Rightarrow 3(I/4 - 2I_2) > 4I_2 \Rightarrow 3I - 24I_2 > 16I_2 \Rightarrow I_2 < 3I/40.

С другой стороны I_4 > 0 \Rightarrow 2I_2 - I_3 > 0 \Rightarrow 2I_2 - I_4 + 2I_2 > 0 \Rightarrow I_2 > I/16.

Значит I/16 < I_2 < 3I/40 или 10I/160 < I_2 < 12I/160.

Окончательно получаем I_2 = 11I/160 \pm I/160 . Погрешность оценки составляет 100/11 процентов, то есть 9.1 процент примерно.

Ответ I_2 = 11I/160 \pm I/160 .

Задача 3

Условие

Найдите сопротивление между клеммами A и B бесконечной цепи, схема которой изображена на рисунке. Сопротивление каждого резистора равно R .

4.03 Решение

Перерисуем схему из соображений симметрии. Нижний узел можно разделить на два, соединённые перемычкой. Так как перемычка находится на оси симметрии, относительно которой клеммы симметричны друг другу, она соединяет точки равного потенциала и ток по ней не течёт. Значит её можно убрать:

4.032 Заметим, что <<внутренняя схема>> в точности повторяет большую, и, соответственно, можно перерисовать схему ещё раз:

4.033 Исходя из формул для параллельного и последовательного соединений, получаем:

R_{AB} = \displaystyle \frac{\displaystyle 2R \cdot (2R + \frac{2R \cdot R_{AB}}{2R + R_{AB}})}{\displaystyle 4R + \frac{2R \cdot R_{AB}}{2R + R_{AB}}}, R_{AB} = \displaystyle \frac{\displaystyle 2R \cdot (4R^2 + 4RR_{AB})}{\displaystyle 8R^2 + 6RR_{AB}} = \displaystyle \frac{\displaystyle 4R^2 + 4RR_{AB}}{\displaystyle 4R + 3R_{AB}}, 4RR_{AB} + 3R_{AB}^2 = 4R^2 + 4RR_{AB}, \ \Rightarrow \ 3R_{AB}^2 = 4R^2, \ \Rightarrow \ R_{AB} = \frac{2}{\sqrt{3}} R. Ответ \ R_{AB} = \frac{2}{\sqrt{3}} R.