Олимпиадные задачи ч. 2

Задача 1

Условие

Источник состоит из соединенных последовательно идеального источника постоянного напряжения \mathcal{E} и терморезистора, сопротивление которого зависит от температуры по закону

R=R_0\left(1+\alpha\left(t-t_0\right)\right), где R_0 - сопротивление резистора при температуре t_0=0^{\circ} \mathrm{C}, t это установившаяся температура резистора, \alpha - постоянный коэффициент.

На графике приведена нагрузочная кривая источника, т. е. зависимость установившегося напряжения U_{A B} между его клеммами от силы протекающего через него тока I . При протекании тока I_1=0,55 А цепь разрывается, т.к. резистор плавится. Температура плавления известна и равна t_{\text {пл }}=306{ }^{\circ} \mathrm{C} . Мощность тепловых потерь в окружающую среду от нагретого до температуры t резистора равна N=\beta\left(t-t_{\text {среды }}\right) , где \beta - постоянный неизвестный коэффициент.

Считайте, что температура окружающей среды t_{\text {среды }}=t_0

Определите:

1. Напряжение \mathcal{E} идеального источника;

2. Сопротивление R_0 ;

3. Напряжение U_{A B} между клеммами A и B , если к ним подключить резистор сопротивлением 10 Oм;

4. Величину \alpha ;

5. Какую силу тока гарантированно не сможет пропускать аналогичный резистор, имеющий те же значения параметров R_0 и \alpha , но очень высокую температуру плавления.

4.07 Решение

При протекании через резистор тока I он нагревается до температуры t . В стационарном режиме, выделяющаяся электрическая мощность равна мощности тепловых потерь. Следовательно, \beta\left(t-t_0\right)=I^2 R_0\left(1+\alpha\left(t-t_0\right)\right) , где \beta - коэффициент тепловых потерь. Откуда

t-t_0=\frac{I^2 R_0}{\beta-I^2 R_0 \alpha}. Установившееся напряжение между клеммами A и B задается выражением:

U_{A B}=\mathcal{E}-I R_0\left(1+\alpha\left(t-t_0\right)\right). Решая систему уравнений, получим:

U_{A B}=\mathcal{E}-\frac{I R_0 \beta}{\beta-I^2 R_0 \alpha}. При I=0, \ U_{A B}=\mathcal{E} . Из графика найдем \mathcal{E}=10 В.

При малых I выражение упрощается до: U_{A B}=\mathcal{E}-I R_0 .

Проведем касательную к начальному участку графика. Из углового коэффициента определяем R_0=10 Ом.

4.08 Напряжение на клеммах A и B , при подключении к ним резистора с сопротивлением 10 Ом, найдем графически. Построим ВАХ резистора на графике с нагрузочной кривой. Пересечение графиков даст искомый ответ 4.0 B.

График пересекает ось абсцисс при силе тока 0.5 А. При этом

\mathcal{E}=\frac{I R_0 \beta}{\beta-I^2 R_0 \alpha}, следовательно, \beta / \alpha=5.0 Вт. Аналогичное значение получается при подстановке других точек. При температуре плавления

t_{\text {пл }}-t_0=\frac{I_1^2 R_0}{\beta-I_1^2 R_0 \alpha}=\frac{3.025}{1,975 \alpha}=306^{\circ} \mathrm{C}, откуда

\alpha=5.1 \cdot 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Выразим ток в зависимости от температуры

I^2=\frac{\beta\left(t-t_0\right)}{R_0\left(1+\alpha\left(t-t_0\right)\right)}=\frac{\beta}{R_0\left(1 /\left(t-t_0\right)+\alpha\right)}. При t \rightarrow \infty, I \rightarrow I_{\text {макс }}=\sqrt{\beta /\left(R_0 \alpha\right)}=0.71 А. Значит любой ток более 0.71 А резистор гарантированно не сможет пропустить ни при какой температуре плавления.

Ответ 1. \mathcal{E}=10 В ; 2. R_0=10 Ом ; 3. U_{A B} = 4 В ; 4. \alpha=5.1 \cdot 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ; 5. I>0.71 A .

Задача 2

Условие

По известным показаниям вольтметра V_1 и амперметра A_1\left(U_1=1\right. В, I_1=6 мкА) определите показания остальных приборов в электрической цепи, схема которой приведена на рисунке. Все вольтметры одинаковые и их сопротивления гораздо больше сопротивлений амперметров.

4.09 Решение

Роль источника тока в цепи выполняет омметр. Так как сопротивления амперметров малы и цепь не содержит контуров без вольтметров, величины токов во всех ветвях определяются сопротивлениями вольтметров, которые можно рассматривать как резисторы с сопротивлениями R_V .

Эквивалентная схема цепи может быть представлена так:

4.10 Здесь вольтметры обозначены как резисторы (цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 показано соответствие вольтметров резисторам), амперметры заменены идеальными проводниками, омметр обозначен как источник тока, выделены проводник, через который задан ток ( b b ), и вольтметр, на котором задано напряжение (№ 3).

Соотношения между силами тока в ветвях упрощенной схемы можно найти с помощью закона Ома и с учетом первого правила Кирхгофа.

Обозначим ток, текущий через вольтметр № 3, за I , тогда такой же ток будет течь и через вольтметр № 4, а через вольтметры № 1 и № 2, пойдет ток 2I .

4.11 Так как напряжение между узлами b и а равно 5I R_V , то через вольтметры № 5 и №6 пойдут токи по 5I .

4.12 Применяя первое правило Кирхгофа, найдем оставшиеся токи через перемычки и омметр:

4.13 Из-за равенства сопротивлений показания вольтметров пропорциональны величинам сил токов, протекающих через них.

4.14 Аналогично, пропорциональны токам и показания амперметров.

4.15 Ответ См. 2 последних фото в решении.