Олимпиадные задачи ч. 2

Задача 3

Условие

В соответствии с одной из моделей омметра он состоит из идеального источника постоянного напряжения \mathcal{E} (с нулевым внутренним сопротивлением) и соединенных с ним последовательно резистора сопротивлением r и идеального амперметра (рис. справа).

При подключении исследуемого резистора к клеммам A и B встроенный амперметр показывает силу тока, которая затем пересчитывается в величину измеряемого сопротивления и отображается на индикаторе омметра.

Если подключить к выводам такого омметра диод, вольтамперная характеристика которого приведена на рис. слева, то он покажет сопротивление R_D=6 кОм.

4.16 Если к этому диоду добавить последовательно резистор сопротивлением R=20 кОм и измерить сопротивление получившейся пары омметром, то он покажет R_1=30 кОм. Если вместо резистора и диода подключить к омметру идеальную батарейку с напряжением U_{\text {Б }}=3 В (полярность подключения неизвестна!), то он покажет отрицательное сопротивление R_{\text {Б }}=-7.5 кОм ( \left.R_{\text {Б }}< \ 0\right) .

По этим данным определите:

1. величину напряжения \mathcal{E} внутреннего источника омметра;

2. величину внутреннего сопротивления r омметра;

3. напряжение U_0 , при котором открывается диод;

4. показания R_{\text {Б1 }} омметра при подключении к нему той же батарейки, но с изменением полярности.

Примечание: амперметр, встроенный в омметр, измеряет силу тока с учетом его направления. Если ток течет через амперметр в обратном направлении, то его величина определяется как отрицательная. Омметр выполняет все вычисления с учетом знаков.

Решение

При подключении к клеммам омметра резистора его сопротивление вычисляется омметром по величине протекающего тока по формуле

R_{\text {изм }}=\frac{\mathcal{E}}{I}-r. При подключении к клеммам любых других электрических элементов вычисления производятся по этой же формуле (омметр не может определить что именно к нему подключено и предполагает, что подключен резистор).

При подключении диода в прямом направлении величина тока через него

I_D=\frac{\mathcal{E}-U_0}{r}. С другой стороны можем выразить этот же ток из показаний омметра

I_D=\frac{\mathcal{E}}{r+R_D}, откуда получим

\frac{\mathcal{E}-U_0}{r}=\frac{\mathcal{E}}{r+R_D}. Для диода, соединенного с резистором, получим аналогичное соотношение

\frac{\mathcal{E}-U_0}{r+R}=\frac{\mathcal{E}}{r+R_1}. Поделив два предыдущих соотношения друг на друга, получим:

\frac{r}{r+R}=\frac{r+R_D}{r+R_1}, откуда

\begin{gathered}

r=\frac{R R_D}{R_1-R_D-R}=30 \ кОм; \\ \\

U_0=\mathcal{E} \frac{R_D}{r+R_D}=\mathcal{E} \frac{R_1-R_D-R}{R_1-R_D}=\frac{\mathcal{E}}{6}.

\end{gathered} Рассмотрим подключение батарейки. Отрицательное значение сопротивления на экране омметра может получаться по двум причинам:

a) батарейка включена в том же направлении, что источник (минус батарейки подключен к плюсу источника), при этом ток в цепи превосходит ток короткого замыкания, и результат вычисления омметром по заложенной в него формуле становится отрицательным;

6) батарейка включена навстречу внутреннему источнику омметра, при этом напряжение батарейки больше напряжения источника и ток течет в противоположном "правильному" направлению при измерении обычного сопротивления. Эти случаи придется рассматривать отдельно

Случай «а»:

I_{Б}=\frac{\mathcal{E}+U_{Б}}{r}=\frac{\mathcal{E}}{r+R_{Б}}, откуда

\mathcal{E}=-U_{\text {Б }} \frac{r+R_{\text {Б }}}{R_{\text {Б }}}=9 В, тогда

U_0=\frac{\mathcal{E}}{6}=1.5 В. При подключении батарейки с изменением полярности

\frac{\mathcal{E}-U_{Б}}{r}=\frac{\mathcal{E}}{r+R_{Б_1}}, откуда

R_{Б_1}=r \frac{U_{Б}}{\mathcal{E}-U_{\text {Б }}}=15 \text { кОм }. Случай «б»:

I_{Б}=\frac{\mathcal{E}-U_{Б}}{r}=\frac{\mathcal{E}}{r+R_{Б}}, откуда

\mathcal{E}=U_{Б} \frac{r+R_{Б}}{R_{Б}}=-9 В. Следовательно, случай «б» не реализуется и остается единственный вариант подключения, рассмотренный в случае «а».

Ответ 1. \mathcal{E} = 9 В ; 2. r = 30 \ кОм ; 3. U_0 = 1.5 В ; 4. R_{Б_1}=15 \text { кОм }.

Задача 4

Условие

Найдите сопротивление между клеммами A и B бесконечной цепи, схема которой изображена на рисунке. Сопротивление каждого резистора равно R .

4.17 Решение

Пусть сопротивление всей цепи R_x , тогда, отделив 2 <<внешних слоя>> получим схему, изображенную на рисунке

4.18 Преобразуем схему в более понятную (красным обозначены резисторы, замещенные в первом рисунке)

4.19 Найдем разность потенциалов между точками Z и W по путям Z-W и Z-C-D-W

J R=(I-J) R+(2 I-2 J) R_x+(I-J) R=2 I R+2 I R_X-2 J R-2 J R_x. Отсюда

J\left(3 R+2 R_X\right)=I(2 R+2 x) \Rightarrow J=2 \frac{R+R_x}{3 R+2 R_x} I. Разность потенциалов между точками A и B

2 I R_x=(2 I+J) R \Rightarrow R_x=\frac{(2 I+J) R}{2 I}=R+\frac{1+\frac{R+R_x}{3 R+2 R_X}}{1}=R \frac{4 R+3 R_x}{3 R+2 R_x}. Получим квадратное уравнение

3 R_x+2 R_x^2=4 R^2+3 R_x \Rightarrow R_x^2=2 R^2 \Rightarrow R_x=\sqrt{2} R. Ответ R_x=\sqrt{2} R.