Локальный закон Ома

Задача 1

Условие

Некоторое вещество обладает нелинейной проводимостью. Удельное сопротивление \rho этого вещества зависит от напряжённости E электрического поля по следующему закону:

\rho=\rho_0+A E^2, где \rho_0=1.0 \cdot 10^7 Ом \cdot м и A=1.0 \cdot 10^{-3} Ом \cdot м ^3 /В ^2 . Этим веществом заполнено всё пространство между пластинами плоского конденсатора. Площадь пластин S=1 м ^2 .

1) Через конденсатор течёт ток. Найдите максимально возможное значение силы тока I_{\max } .

2) Предполагая, что расстояние между пластинами конденсатора d=1 \ см , определите максимальную тепловую мощность, которая может выделяться внутри конденсатора при изменении напряжения между пластинами. Постройте качественный график зависимости мощности p от напряжения U .

3) Пусть теперь напряжение на конденсаторе постоянно: U_1=2.0 \cdot 10^3 В. Какая максимальная мощность может выделяться внутри конденсатора, если изменять расстояние между пластинами? При каком значении d=d_1 достигается максимальная мощность? Предполагается, что конденсатор заполнен веществом при любых значениях d . Постройте качественный график зависимости выделяемой мощности P от расстояния d между пластинами.

Решение

Преобразуем выражение для \rho :

\rho=\rho_0+A E^2=A\left(\rho_0 / A+E^2\right)=A\left(E_0^2+E^2\right), где E_0=\sqrt{\rho_0 / A}=10^5 \ В/м.

Найдем выражение для силы тока, протекающего через конденсатор

I=\frac{U}{R}=\frac{E d}{\rho d / S}=\frac{S}{A} \frac{E}{E_0^2+E^2}. Выразим напряжённость электрического поля E как функцию силы тока I :

E^2-2\left(\frac{S}{2 A I}\right) E+E_0^2=0 \Rightarrow E_{1,2}=\frac{S}{2 A I} \pm \sqrt{\left(\frac{S}{2 A I}\right)^2-E_0^2}. Выражение для E имеет вещественные корни, если \left(\frac{S}{2 A I}\right)^2-E_0^2 \geq 0 . Отсюда найдём

I_{\max }=\frac{S}{2 A E_0}=\frac{S}{2 \sqrt{A \rho_0}}=5 \ мА. Мощность, выделяемая в конденсаторе:

P(U)=\frac{U^2}{R}=\frac{S}{A d} \frac{U^2}{E_0^2+E^2}=\frac{S d}{A} \frac{U^2}{U_0^2+U^2}, где U_0=E_0 d=1 кВ. С ростом напряжения мощность растёт и стремится к P_{\max }=S d / A=10 Вт при U \rightarrow \infty . Заметим, что при U<<U_0 можно записать:

P \approx \frac{S d}{A} \frac{U^2}{U_0^2}. График P от U удобно строить в координатах P/P_{max} от U/U_0 .

с7 Представим выражение для мощности, выделяемой в конденсаторе, как функцию от расстояния d :

P(d)=\frac{U_1^2}{R}=S U_1^2 \frac{d}{A U_1^2+\rho_0 d^2}=\frac{S d_0}{A}\left(\frac{d_0}{d}+\frac{d}{d_0}\right)^{-1}, где d_0=U_1/E_0 = 2 \ см . Заметим, что

\frac{d_0}{d}+\frac{d}{d_0}=\left(\frac{d_0}{d}-2+\frac{d}{d_0}\right)+2=\left(\sqrt{\frac{d_0}{d}}-\sqrt{\frac{d}{d_0}}\right)^2+2. Это выражение принимает минимальное значение при d=d_0 . Соответственно, мощность достигает максимума при d=d_0 .

P_{\max }^{\prime}=P\left(d_0\right)=\frac{S d_0}{2 A}=10 \ Вт. Совпадение P_{max} и P_{max}^{\prime} случайно. Заметим, что при d<d_0 мощность

P(d) \approx \frac{S U_1^2 d}{A U_1^2}=\frac{S d}{A}. График P от d удобно строить в координатах P/P_{max}^{\prime} и d / d_0 :

\frac{P}{P_{\max }}=\frac{2\left(d / d_0\right)}{1+\left(d / d_0\right)^2}. с7.2 Ответ 1) I_{\max }=5 мА; 2) P_{\max }=10 Вт, график P(U) смотри в решении; 3) P_{\max }^{\prime}=10 Вт при d = 2 см, график P(d) смотри в решении.