Локальный закон Ома

Задача 4

Условие

Плоский конденсатор с расстоянием между обкладками d подсоединён к источнику постоянного тока с ЭДС, равной E (рис.). Конденсатор заполнен двумя слоями слабопроводящих сред с разными значениями удельной проводимости \lambda_1 и \lambda_2 . Оба слоя находятся в электрическом контакте между собой и с пластинами конденсатора. Толщина каждого слоя d/2 , диэлектрическая проницаемость обоих слоёв \varepsilon_1=\varepsilon_2=1 . Найдите:

1) поверхностные плотности \sigma_{1} и \sigma_2 зарядов на пластинах конденсатора;

2) поверхностную плотность \sigma заряда в плоскости контакта слоёв.

Примечание. Удельная проводимость - это величина, обратная удельному сопротивлению: \lambda=1 / \rho .

35 Решение

Пусть E_1 и E_2 напряжённости однородных электрических полей в верхней и нижней пластинах соответственно. Тогда:

E_1 \frac{d}{2}+E_2 \frac{d}{2}= \mathcal{E}. Здесь E_1 d/2 и E_2 d/2 - падения напряжений на слоях. По закону Ома:

E_1 \frac{d}{2}=I_1 \frac{1}{\lambda_1} \frac{d / 2}{S}, \quad E_2 \frac{d}{2}=I_2 \frac{1}{\lambda_2} \frac{d / 2}{S}, где I_1=I_2 - силы токов, текущих в первом и втором слоях, S - площадь пластин конденсатора. Поделив почленно эти соотношения, получим:

\frac{E_1}{E_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}. Решая систему из двух уравнений, найдём:

\sigma_1=\varepsilon_0 E_1=\frac{2 \varepsilon_0 \mathcal{E}}{d} \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}; \quad \sigma_2=-\varepsilon_0 E_2=-\frac{2 \varepsilon_0 \mathcal{E}}{d} \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}. Полный заряд конденсатора, включающий заряды на пластинах и заряд в плоскости контакта слоёв, равен нулю. Пусть \sigma - поверхностная плотность заряда в плоскости контакта. Условие равенства нулю полного заряда:

\sigma_1+\sigma_2+\sigma=0. Отсюда:

\sigma=-\sigma_1-\sigma_2=-\frac{2 \varepsilon_0 \mathcal{E}}{d}\left(\frac{1}{1+\lambda_1 / \lambda_2}-\frac{1}{1+\lambda_2 / \lambda_1}\right)=-\frac{2 \varepsilon_0 \mathcal{E}}{d} \frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}. Ответ 1) \ \sigma_1=\frac{2 \varepsilon_0 \mathcal{E}}{d} \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}, \ \sigma_2=-\frac{2 \varepsilon_0 \mathcal{E}}{d} \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}; \ 2) \ \sigma=-\frac{2 \varepsilon_0 \mathcal{E}}{d} \frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}.

Задача 5

Условие

Плоский конденсатор ёмкостью C_0 заполнен слабопроводящей слоистой средой с \varepsilon=1 , удельное сопротивление которой зависит от расстояния x до одной из пластин по закону

\rho=\rho_0\left(1+\frac{2 x}{d}\right). где d - расстояние между пластинами конденсатора. Конденсатор подключён к батарее с напржением U_0 (рис.). Найдите:

1) силу тока, протекающего через конденсатор;

2) заряды нижней \left(q_1\right) и верхней ( q_2 ) пластин конденсатора;

3) заряд q внутри конденсатора (т. е. в среде между пластинами);

4) электрическую энергию W_{э} запасённую в конденсаторе.

с7.5 Решение

В установившемся режиме сила тока I=\mathrm{const} при любом значении x . Выделим в среде слой толщиной d x . По закону Ома:

d U=\rho \frac{d x}{S} I=I \rho_0\left(1+\frac{2 x}{d}\right) \frac{d x}{S}. Здесь S - площадь пластин конденсатора.

U_0=\int d U=\frac{2 I \rho_0 d}{S}=\frac{2 I \rho_0 \varepsilon_0}{C_0}, так как C_0=\frac{\varepsilon_0 S}{d} . Выразим силу тока:

I=\frac{U_0 C_0}{2 \rho_0 \varepsilon_0}. Определим напряжённость электрического поля вблизи нижней \left(E_1\right) и верхней ( E_2 ) пластин. Из предыдущих уравнений следует:

E(x)=\frac{d U}{d x}=\frac{I \rho_0}{S}\left(1+\frac{2 x}{d}\right)=\frac{C_0 U_0}{2 \varepsilon_0 S}\left(1+\frac{2 x}{d}\right). При x=0, E_1=\frac{C_0 U_0}{2 \varepsilon_0 S} :

q_1=S \sigma_1=S E_1 \varepsilon_0=\frac{C_0 U_0}{2}. При x=d \cdot E_2=\frac{3 C_0 U_0}{2 \varepsilon_0 S} :

q_2=-S \sigma_2=-S E_2 \varepsilon_0=-\frac{3 C_0 U_0}{2}. Полный заряд конденсатора, включающий заряды обеих пластин и заряд в среде между пластинами, равен нулю:

q_1+q_2+q=0. Из этого соотношения следует:

q=C_0 U_0. Электрическую энергию, запасённую в конденсаторе, найдём через объёмную плотность энергии \omega_э=\varepsilon_0 E^2 / 2 :

W_{э}=\int\omega_{э} d V=\int\limits_0^d \frac{\varepsilon_0 E^2(x)}{2} S d x=\frac{C_0 U_0^2}{8 d} \int\limits_0^d\left(1+\frac{2 x}{d}\right) d x=\frac{13}{24} C_0 U_0^2. Ответ 1) \ I=\frac{U_0 C_0}{2 \rho_0 \varepsilon_0}; \ 2) \ q_1 = \frac{C_0 U_0}{2}, q_2 = -\frac{3 C_0 U_0}{2}; \ 3) \ q=C_0 U_0; \ 4) \ W_{э} = \frac{13}{24} C_0 U_0^2.