Локальный закон Ома

Задача 2 Условие Сферический конденсатор с радиусами обкладок $R_1=R$ и $R_3=3 R$ подсоединён к источнику с постоянным напряжением $U$ (рис.). Пространство между обкладками заполнено двумя слоями различных веществ с удельными сопротивлениями $\rho_1=\rho$ и $\rho_2=2 \rho$ и диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_1=\varepsilon_2=1$. Радиус сферической границы между слоями $R_2=2 R$. Удельная проводимость слоёв между обкладками конденсатора намного меньше удельной проводимости материала обкладок. 1) Найдите заряд на границе между слоями различных веществ. 2) Найдите силу тока, протекающего через конденсатор. Решение Пусть заряд обкладок конденсатора $Q_1$ и $Q_3$, а заряд на границе слоев $Q_2$. Запишем закон сохранения заряда: $$ Q_1+Q_2+Q_3=0. $$ Разность потенциалов между обкладками равна $U$, то есть $$ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{R}+\frac{Q_2}{2 R}+\frac{Q_3}{3 R}\right)=U. $$ Воспользуемся законом Ома, выраженным в дифференциальной форме: $j=E / \rho$. Плотность тока, т.е. сила тока, протекающего через единичную площадку, по обе стороны границы слоев одинакова. Поэтому для пограничной области радиуса $R_2$ $$ \frac{1}{\rho} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_1}{(2 R)^2}=\frac{1}{2 \rho} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{(2 R)^2}+\frac{Q_2}{(2 R)^2}\right). $$ Отсюда $$ Q_1=Q_2. $$ Из предыдущих находим $$ Q_2=\frac{24}{5} \pi \varepsilon_0 U R. $$ Плотность тока вблизи обкладки радиуса $R$: $$ j=\frac{1}{\rho} \frac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}=\frac{6 U}{5 \rho R}. $$ Тогда сила тока, текущего через конденсатор, $$ I=4 \pi R^2 j=\frac{24 \pi U R}{5 \rho}. $$ Ответ $1)\ Q_2=\frac{24}{5} \pi \varepsilon_0 U R; \ 2) \ I=\frac{24 \pi U R}{5 \rho}. $ Задача 3 Условие Имеются три концентрические хорошо проводящие металлические сферы 1,2 и 3 радиусами $R, 2 R$ и $3 R$. Пространство между первой и второй сферами заполнено жидкостью с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и удельным сопротивлением $11 \rho$, а между второй и третьей - жидкостью с диэлектрической проницаемостью $11 \varepsilon$ и удельным сопротивлением $\rho$. Между внутренней и внешней сферами при помощи батарейки поддерживается постоянная разность потенциалов $U$. Чему равен заряд $q_2$ средней сферы? Какова сила тока $I$, который течёт при этом в цепи? Решение Тогда $$ \begin{gathered} E_1=\frac{k q_1}{\varepsilon r^2}, \quad E_2=\frac{k\left(q_1+q_2\right)}{11 \varepsilon r^2}; \\ d U=\frac{I}{4 \pi r^2} \rho d r; \\ U_{1-2}=\frac{11 \rho I}{4 \pi} \int\limits_R^{2 R} \frac{d r}{r^2}=\frac{11 \rho I}{4 \pi}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{2 R}\right)=\frac{11 I \rho}{8 \pi R}. \end{gathered} $$ Аналогично для 2-3: $$ U_{2-3}=\frac{\rho I}{4 \pi} \int\limits_{2 R}^{3 R} \frac{d r}{r^2}=\frac{\rho I}{4 \pi}\left(\frac{1}{2 R}-\frac{1}{3 R}\right)=\frac{I \rho}{24 \pi R}. $$ Откуда $$ U=U_{1-2}+U_{2-3}=\frac{17 I \rho}{12 \pi R} \Rightarrow I=\frac{12 \pi R U}{17 \rho}. $$ Плотность тока равна $$ j=\frac{E}{\rho} \Rightarrow E_1=11 \rho \frac{I}{4 \pi r^2}=\frac{k q_1}{\varepsilon r^2} . E_2=\rho \frac{I}{4 \pi r^2}=\frac{k\left(q_1+q_2\right)}{11 \varepsilon r^2}. $$ Тогда сила тока $$ I=\frac{k q_1 \cdot 4 \pi r^2}{11 \rho \varepsilon r^2}=\frac{k\left(q_1+q_2\right) \cdot 4 \pi r^2}{11 \varepsilon r^2} \Rightarrow q_1=q_1+q_2 \Rightarrow q_2=0. $$ Ответ $q_2=0$; $I=\frac{k\left(q_1+q_2\right) \cdot 4 \pi r^2}{11 \varepsilon r^2}$.