Теория Друде

Концепция Теория Друде (или теория Друде-Лоренца ) представляет собой попытку применить положения и выводы МКТ к движению свободных электронов в металле. Эта теория не лишена некоторых противоречий и сейчас существуют теории, дающие более точные результаты (основанные на квантовой механике), однако теория Друде крайне наглядна и способна давать точные результаты довольно просто с точки зрения расчётов. Основные положения 1) Металл состоит из свободных (валентных) электронов, движущихся по проводнику и создающих ток, а также неподвижных положительно заряженных ионов. 2) Валентные электроны металлов представляют собой одинаковые твердые сферы, двигаются они по прямым линиям до столкновения друг с другом и (что гораздо более вероятно) с ионами, время контакта частиц пренебрежимо мало по сравнению с временем <<свободного>> движения. 3) Электроны не взаимодействуют между собой и с ионами кроме как в момент столкновения. 4) За единицу времени электрон испытывает столкновение (то есть внезапное изменение скорости) с вероятностью, равной $1/\tau$. Имеется в виду, что для электрона вероятность испытать столкновение в течение бесконечно малого промежутка времени $dt$ равна просто $dt/\tau$. Время $\tau$ называют временем релаксации , или временем свободного пробега . 5) Столкновение электрона с электроном крайне маловероятно, а столкновение иона с электроном приводит к почти полной остановке электрона. Пределы применимости и сложности теории Теория не применима в случае, если проводник находится в сильном магнитном поле, при макроскопическом проявлении квантовых эффектов (например, сверхпроводимость). Кроме того, теория феноменологическая и требует знания времени релаксации, которое необходимо знать заранее для успешного применения положений теории Друде. Начальные выводы теории Для начала, постараемся вывести соотношение для объёмной концентрации валентных электронов. Пусть мы рассматриваем некоторую массу проводника $m$. Представим её как $$m = \rho V = \nu \mu.$$ Или, избавляясь от лишнего: $$\rho V = \nu \mu.$$ Умножим обе части на число Авогадро: $$\rho V N_A = N \mu,$$ где $N$ это количество атомов металла, содержащееся в рассматриваемом объёме. Разделим обе части на $V:$ $$\rho N_A = n_a \mu,$$ где $n_a$ это концентрация атомов металла. Но на каждый атом приходится $Z$ валентных электронов, где $Z$ это валентность металла, соответственно $$n_e = Z n_a = \frac{Z \rho N_A}{\mu}.$$ Тогда плотность <<электронного газа>> равна $$\rho_e = m_e n_e,$$ где $m_e$ это масса электрона. Кинетическая энергия одного электрона определяется выражением: $$ w_{e}=\frac{m \bar{u}^2}{2}, $$ где $m$ – масса электрона, $\bar{u}$ – средняя скорость хаотического движения электрона. Согласно молекулярно-кинетической теории эта же энергия $w_{e}=\frac{3}{2} k T$, где $k$ – постоянная Больцмана; $T$ –температура проводника. Из этих выражений $$ \bar{u}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}} . $$ Для комнатной температуры ($T=300$ К) $$ \bar{u}=\sqrt{\frac{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{9,1 \cdot 10^{-31}}} \approx 10^5 \ м/с. $$ Среднюю скорость направленного движения электронов в медном проводнике определим из формулы ($j = e n \bar{v})$, положив плотность тока $j = 10^7 \ А/м^2$ и концентрацию $n = 1 \cdot 10^{29} \ м^{-3}$. Откуда $$ \bar{v}=\frac{j}{n e}=\frac{10^7}{10^{29} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}} \approx 10^{-3} \ м/с. $$ Таким образом, $\bar{v} \ll \bar{u}$.