Термоэлектронная эмиссия

Термоэлектронная эмиссия

Прежде чем изучать эту лекцию, стоит изучить лекцию о теории Друде.

«Свободные электроны» удерживаются внутри металла. Значит, в поверхностном слое металла возникает некое задерживающее электрическое поле, препятствующее электронам выходить из металла в окружающий вакуум/воздух/иную среду. Чтобы покинуть металл, электрон должен совершить некоторую работу, называемую работой выхода.

Одна из причин возникновения работы выхода состоит в следующем. Если при тепловом движении электрон вылетит из металла, то он индуцирует на поверхности последнего заряды противоположного знака. Возникнет сила притяжения между электроном и поверхностью металла, стремящаяся вернуть электрон обратно в металл. На преодоление этой силы требуется совершение работы.

Можно указать и другую причину. Электроны, совершая тепловое движение, могут пересекать поверхность металла и удаляться от нее на небольшие расстояния (порядка атомных). Над поверхностью металла возникает электронная атмосфера, плотность которой быстро убывает при удалении от металла. Под ней у поверхности металла остается слой положительно заряженных ионов. В результате образуется двойной электрический слой, действующий подобно конденсатору. Он не создает электрического поля во внешнем пространстве. Зато на преодоление электрического поля внутри самого двойного слоя также требуется совершение работы.

Вероятно, существуют другие причины возникновения работы выхода. Однако мы не будем останавливаться на рассмотрении теоретических причин явления, рассмотрим его феноменологически.

При повышении температуры металла увеличивается кинетическая энергия теплового движения электронов. Она может стать настолько большой, что некоторые из электронов смогут преодолеть задерживающий электрический потенциал на границе металла и выйти наружу. Если в окружающей среде существует электрическое поле, направленное к поверхности металла, то оно будет увлекать вышедшие электроны, и через вакуум потечет электрический ток. Этот ток называется термоэлектронным током, а само явление - термоэлектронной эмиссией. Впервые об этом явлении сообщил Эдмонд Беккерель в 1853 году.

image.png

Для наблюдения термоэлектронной эмиссии удобна вакуумная лампа с двумя электродами, называемая вакуумным диодом. Катодом лампы служит проволока (нить) из тугоплавкого металла (вольфрам, молибден и пр.), накаливаемая электрическим током. Анод чаще всего имеет форму металлического цилиндра, окружающего накаливаемый катод. Если диод включить в электрическую цепь, показанную на рисунке выше, то при холодном катоде ток через цепь не пойдет. Если же нагреть катод до белого каления, то амперметр покажет ток. При изменении полярности батареи слева ток прекращается. Это доказывает, что носителями тока через вакуум являются отрицательно заряженные частицы, а именно электроны, так как никакими химическими превращениями вблизи электродов прохождение термоэлектронного тока не сопровождается.

Если, поддерживая температуру накаленного катода постоянной, менять напряжение V между анодом и катодом, то термоэлектронный ток сначала будет возрастать. Однако это возрастание идет не прямо пропорционально V , так что для вакуумного диода закон Ома не выполняется. По достижении определенного напряжения дальнейшее нарастание термоэлектронного тока практически прекращается. Последний достигает предельного значения I_s , называемого током насыщения.

image.png Наличие тока насыщения имеет весьма простое объяснение. Его величина определяется количеством термоэлектронов, которое в состоянии испариться с поверхности катода в единицу времени. Если электрическое поле настолько сильное, что оно отводит все электроны, испаряющиеся с поверхности катода, то дальнейшее увеличение напряженности поля уже не может привести к увеличению термоэлектронного тока. С этим и связано явление насыщения тока. Плотность термоэлектронного тока насыщения j_s определяет эмиссионную способность материала катода, т. е. максимальное количество электронов, которое может эмиттировать катод с единицы поверхности в единицу времени.

Если оставаться последовательными в модели, где электроны образуют газ, то эмиссию электронов можно рассматривать как испарение. Из уравнения Клаузиуса-Клапейрона, ясно:

\frac{d p}{d T}=\frac{\Delta H_m}{\Delta V_m T}, где \Delta \mathrm{H_m} - изменение мольной энтальпии при фазовом переходе, a \Delta \mathrm{V_m} изменение мольного объёма при фазовом переходе. Мольный объём можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона и подставить в уравнение Клаузиуса-Клапейрона:

\frac{d p}{d T}=\frac{p \Delta H_m}{R T^2}, внося под знак дифференциала, получим

\frac{d \ln p}{d T}=\frac{\Delta H_m}{R T^2}. Так как константа испарения пропорциональна давлению насыщенного пара, можно похожее выражение записать и для константы испарения:

\frac{d \ln K}{d T}=-\frac{\lambda}{R T^2}, где \lambda — теплота испарения. В свою очередь зависимость теплоты испарения от температуры определяется разностью теплоёмкостей в случае электронов вне металла и внутри. Согласно классической теории металлов Друде, теплоёмкость электронов вне металла равна 5R/2 а внутри 3R/2 , но это неверные значения, они входят как с экспериментальным законом Дюлонга-Пти, так и с теоретическими выкладками, основанными на квантовой механике. На самом деле теплоёмкость электронного газа в металле равна 0. Получаем

\lambda=\lambda_0+\frac{5}{2} R T. Подставив этот результат в уравнение для константы испарения и проинтегрировав в пределах от 0 до T получим:

K=C T^{\frac{5}{2}} e^{-\frac{\lambda_0}{R T}}. Воспользовавшись основным уравнением МКТ

P = nkT, учитывая, что

\overline{v} = \sqrt{\frac{8 R T}{\pi \mu}}, исходя из распределения Максвелла-Больцмана, а кроме того

n \sim \frac{N}{\overline{v}}, где N это количество вылетающих с поверхности металла электронов, получим:

N=B T^2 e^{-\frac{\lambda_0}{R T}}, где B это некоторая константа. Учитывая, что

j \sim N \ и \ e \phi R = k \lambda, (где \phi это потенциал выхода электрона, то есть e \phi это работа выхода электрона) получаем формулу Ричардсона-Дешмана для плотности тока насыщения:

j=A T^2 e^{-\frac{e \varphi}{k T}}. ( A это некоторая константа). Впервые формула была получена Оуэном У. Ричардсоном в некорректном виде, из-за неверно учтённой теплоемкости электронного газа в металле. Позже уточнена Саулом Дешманом с применением выводов из квантовой теории.