Олимпиадные задачи ч. 1

Задача 4

Условие

В 1899 году выдающийся американский физик Роберт Вуд оригинально решил сложную техническую проблему, за что институт, в котором он работал, сразу получил премию в 200000 долларов. Придуманное им «электротаяние» широко используют и сейчас.

Однажды во время сильного мороза в проложенной под землей к дому сенатора железной трубе длиной l=100 метров на участке длиной l_1 \approx 5 метров замерзла вода, и водопровод перестал работать. Вуд предложил подсоединить к концам трубы провода от вторичной обмотки понижающего трансформатора, и через t=10 минут после подключения из крана полилась вода.

Какое примерно напряжение было приложено к концам трубы и какая сила тока была в ней?

Диаметры трубы: внутренний D_1=20 мм, наружный D_2=26 мм. Для железа: плотность d_ж=7.8 г/см { }^3 , удельная теплоемкость железа c_{\text {ж }}=0.45 кДж / кг \cdot К), удельное сопротивление \rho_{\text {ж }}=0.1 Ом \cdot мм^2 / м. Для льда: плотность d_л=0.9 г/см { }^3 , удельная теплоемкость c_{\text {л }}=2.1 кДж /( кг \cdot К), удельная теплота плавления \lambda=340 кДж/кг.

Решение

Масса находящегося в трубе льда

m=\frac{d_l l_л D_1^2}{4}. Чтобы расплавить лед, замерзший в трубе, необходима энергия Q_1=\lambda m . Передачей теплоты вдоль трубы можно пренебречь, так как ее длина много больше диаметра. На нагревание льда и трубы затрачено много меньше теплоты, чем на плавление льда, поэтому в приближенных расчетах энергией, пошедшей на нагревание трубы и льда, можно пренебречь. Площадь наружной поверхности трубы в 1.3 раза больше площади внутренней поверхности, поэтому теплота, отданная наружной поверхностью трубы, будет в то же число раз больше теплоты, пошедшей на плавление льда: Q_2=1.3 \lambda m . Все тепло, отданное замерзшему участку за время таяния, равно

Q=Q_1+Q_2=2.3 \lambda m. Работа электрического тока на этом участке

\begin{gathered}

A_1=\frac{U_1^2 t}{R}=\frac{U_1^2 S t}{\rho_{ж} l_1}=\frac{U_1^2 \pi\left(D_2^2-D_1^2\right) t}{\rho_{ж} l_1^2}; \\

Q=A_1, \quad \frac{2.3 \lambda \pi D_1^2 l_1 d_л}{4}=\frac{U_1^2 \pi\left(D_2^2-D_1^2\right) t}{4 \rho_{ж} l_1}; \\

U_1=l_1 D_1 \sqrt{\frac{2.3 \lambda d_л \rho_{ж}}{\left(D_2^2-D_1^2\right) t}}.

\end{gathered} Напряжение на концах всей трубы будет в 20 раз больше:

U=l D_1 \sqrt{\frac{2.3 \lambda d_л \rho_{ж}}{\left(D_2^2-D_1^2\right) t}} \approx 41 В, \quad I=\frac{U_1}{R}=\frac{U \pi\left(D_2^2-D_1^2\right)}{\rho_{ж} l_1} \approx 870 А. Ответ U \approx 41 В; I \approx 870 А.

Задача 5

Условие

Фрагмент электрической цепи состоит из соединенных параллельно диодов, резисторов, ключей и идеального вольтметра (рис. 1). Диоды D_1 и D_2 открываются при разных напряжениях ( U_{01}<U_{02} ). Их вольтамперная характеристика приведена на рис. 2. На диаграмме (рис. 3) изображен циклический процесс 1-2-3-4-1 , отражающий связь силы тока I , входящего в фрагмент, и показаний вольтметра U . Масштаб по оси ординат утерян, но известно, что в течение цикла сила тока I изменялась с постоянной по модулю скоростью k=1 \ мА / с , а количество теплоты, выделившееся на резисторах в процессе 2-3 , равно Q_{23}=6.4 Дж.

4.01 Опишите возможную последовательность действий с ключами, которая приведет к такому виду циклического процесса.

Определите:

напряжения открытия диодов U_{01} и U_{02} ;

сопротивления резисторов R_1 и R_2 ;

время \tau , которое длился цикл;

количество теплоты Q_{41} , выделившееся на резисторах на участке 4-1 .

Решение

Из графика следует, что на участках 1-2 и 3-4 токи текут только через резисторы. Действительно, если на участке 1-2 был бы открыт один из диодов, то при изменении силы тока I показания вольтметра совпадали бы с напряжением открытия диода и не изменялись.

При напряжениях 4 В и 8 В диоды открываются и сила тока на участках 4-1 и 2-3 изменяется при неизменных показаниях вольтметра. Следовательно,

U_{01}=4 В, U_{02}=8 В. Сопротивления фрагмента на участках 1-2 и 3-4 отличаются, что следует из различных коэффициентов наклона участков диаграммы, причем R_{34}<R_{12} . Откуда

R_{12}=R_1, R_{34}=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}. Заметим, что сила тока через резистор R_1 на всем участке 2-3 не изменяется, а увеличение общего тока компенсируется увеличением тока через диод D_2 .

Так же заметим, что ключ K_2 до завершения участка 2-3 замыкаться не мог, так как при неизменном общем токе это привело бы к мгновенному уменьшению сопротивления фрагмента и напряжения на нем. Диод сразу бы закрылся, и система перешла в состояние, соответствующее такому же току на участке 3-4 .

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что на участке 4-1 ток также идет только через резистор R_1 . Если в т. 4 не разомкнуть ключ K_2 , отключив резистор R_2 , дальнейшее уменьшение общего тока приведет к закрытию диода и переходу системы в состояние, находящееся на продолжении процесса 3-4 .

Обозначим силу тока в т. 1 за I_0 . Тогда количество теплоты Q_{23} , выделившееся на резисторе R_1 на участке 2-3 , может быть найдено по формуле Q_{23}=2 I_0 U_2 t_{23} . С другой стороны, за время t_{23} сила тока возросла с 2 I_0 до 6 I_0 . Поэтому 4 I_0=k t_{23} .

Решая систему, получим: I_0=\sqrt{\frac{k Q_{23}}{8 U_2}}=0,01 \ А.

За цикл сила тока в цепи увеличивалась от I_0 до 6 I_0 , а затем уменьшалась на такую же величину. Длительность одного цикла равна

\tau=2 \cdot \frac{50 \ мА}{1 \frac{мА}{с}}=100 \ с. Можно предложить такую последовательность действий, приводящую к заданному виду цикла:

1-2 : Ключи разомкнуты. Ток течет только через R_1 . Второй диод закрыт.

2-3 : Открывается диод. Ток идет через R_1 и второй диод.

3-4 : Замыкают второй ключ. Диод закрывается. Силу тока начинают уменьшать.

4-1 : Когда напряжение в цепи уменьшилось до 4 В, замыкают первый ключ и одновременно размыкают второй ключ. Первый диод открывается. В конце участка первый ключ опять размыкают.

Ответ U_{01}=4 В , U_{02}=8 В;