Олимпиадные задачи ч. 1

Задача 6

Условие

Электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке 1, состоит из идеального источника постоянного напряжения U_0 = 12 В, резистора, идеального диода (напряжение открытия которого равно нулю) и трёх приборов, далее именуемых «источники постоянной мощности».

4.02 Обозначим за I силу электрического тока, протекающего через прибор. Принцип работы источника постоянной мощности таков:

1. При I=1 А=I_{\text {в }} , прибор работает как источник постоянной силы тока I_{\text {в }}=1 А , выдавая мощность не больше номинальной.

2. Прибор пропускает ток только в направлении, указанном стрелкой возле его обозначения на схеме. Сила тока не превосходит I_{\text {в }} .

3. При I \leqslant 1 мА прибор работает как источник постоянного напряжения, выдавая мощность не больше номинальной и создавая напряжение, равное P / I_{н} , где P- номинальная мощность прибора, а I_{н}=1 мА.

4. При I_{н}<I<I_{\text {в }} мощность, выдаваемая прибором, постоянна и равна номинальной.

5. Под номинальной мощностью прибора понимается P=I U_V , где показания вольтметра U_V>0 (см. рисунок ниже). Обратите внимание на полярность подключения вольтметра!

4.04 Номинальные мощности каждого источника: P_1=1 Вт, P_2=2 Вт и P_3=3 Вт.

Найдите значения сил токов, текущих во всех ветвях цепи, и сопротивление R резистора. Известно, что через резистор протекает ток силой I_R=0.8 А .

Решение

Предположим, что диод закрыт. Тогда через источник P_1 протекает электрический ток силой I_R . Из алгебраической суммы токов для центрального узла получим связь между токами, протекающими через источники:

I_3=I_2+I_R, где I_2 и I_3 - силы электрических токов, протекающие через приборы P_2 и P_3 соответственно.

Сумма напряжений на приборах P_1 и P_2 равна напряжению U_0 :

U_0=U_3+U_2, где U_2 и U_3 - напряжения на клеммах приборов P_2 и P_3 соответственно.

Через второй прибор протекает электрический ток силой I_2>1 мА, иначе U_2+U_3>U_0 .

Тогда:

\frac{P_2}{I_2}+\frac{P_3}{I_2+I_R}=U_0 \Rightarrow I_2=0.22 А. Получаем, что I_3>1 А, что противоречит условию. Значит третий прибор работает как источник постоянной силы тока, сила тока через него равна 1 А. Сила тока через второй источник I_2=0,2 А. Ток через U_0 течет слева направо и равен I_0=0,2 А . С учётом ориентаций источников и направлений протеканий электрического тока, напряжение на ветви, содержащей U_0 и P_2 , равно напряжению на ветви, содержащей P_1 и R :

\begin{gathered}

U_0-U_2=-U_1+U_R; \\

U_0-\frac{P_2}{I_2}=-\frac{P_1}{I_1}+I_R R \Rightarrow R \approx 4.1 \text { Ом}.

\end{gathered} Предположим, что диод открыт. Тогда через него протекает электрический ток, а напряжения на источниках P_1 и P_2 равны. Пусть через первый источник протекает некоторый электрический ток силой I_1 , тогда, так как номинальные мощности относятся как P_2 / P_1=2 , а напряжения на клеммах источников равны, через второй источник постоянной мощности будет протекать электрический ток силой I_2=2 I_1 . Алгебраическая сумма токов для узла, соединяющего все три источника, должна равняться нулю, из чего следует, что через прибор P_3 протекает электрический ток силой равной I_3=2 I_1+I_1=3 I_1 . Тогда: \begin{gathered}

\frac{P_3}{P_1}=\frac{U_3 I_3}{U_1 I_1}=3; \\ \\

U_3=\frac{3 U_1 I_1}{3 I_1}=U_1.

\end{gathered}

Получаем, что напряжения на клеммах всех трёх источников равны U_3=U_2=U_1=U , следовательно 2 U=U_0 \Rightarrow U=0.5 U_0=6 В. Найдем чему равняется сила электрического тока, протекающего через первый источник:

I_1=\frac{P_1}{U}=\frac{1}{6} \text { A. } При таком значении I_1 все три прибора будут работать в нормальных режимах, обеспечивающих номинальную мощность. Алгебраическая сумма токов для нижнего узла должна равняться 0:

I_1=I_D+I_R, тогда I_D - сила тока через диод, получается отрицательной, что противоречит изначальному предположению. Получаем, что диод закрыт.

Ответ I_0=0,2 А ; I_2=0,2 А ; I_3=1 А ; I_D=0 А ; R \approx 4.1 \text { Ом}.

Задача 7

Условие

В упрощённой модели источник постоянного тока состоит из соединённых последовательно идеального источника постоянного напряжения U_0 и резистора с сопротивлением r (см. рис. слева). При подключении источника постоянного тока в цепь, содержащую резисторы с сопротивлением R \ll r , можно считать, что сила тока I_0 \approx \frac{U_0}{r} .

Электрическая цепь представляет собой проволочную сетку, которая состоит из звеньев одинакового сопротивления R . Три звена заменены на одинаковые источники постоянного тока I_0 (см. рис. справа).

4.05 Найдите, через какие звенья цепи течёт минимальный ток, и чему равна его сила I_{min} . Ответ выразите только через I_0 .

Решение

Расставим токи по перемычкам цепи I_1, I_2, I_3, I_4, I_5 . Потенциал в центральной точке цепи примем равным нулю: Запишем разность потенциалов между узлами 3 и 1:

\Delta \varphi_{13}=R I_3=R I_2+R I_2=2 R I_2 \Rightarrow I_3=2 I_2. В силу симметрии цепи \varphi_2=\varphi_3 (при повороте на 120^{\circ} цепь переходит сама в себя) поэтому

\Delta \varphi_{12}=\Delta \varphi_{13} \Rightarrow R I_1=R I_3 \Rightarrow I_1=I_3. Запишем закон сохранения заряда для узла 1:

I_0=I_1+I_2+I_3=2 I_3+I_2=5 I_2 \Rightarrow I_2=\frac{I_0}{5}. 4.06