Намагниченность материалов. Виды и свойства магнетиков.: Лекция 8

Пример 1: Запишите закон БСЛ для контура с током, помещенного в однородный изотропный линейный магнетик с проницаемостью µ.

Решение: С учетом предложенного «рецепта» ясно, что весть контур нужно разбить на «бесконечно малые» элементы \Delta \vec{l} с током I , вычислить вклад этого элемента в индукцию в точке наблюдения по формуле БСЛ с заменой \mu_0 \rightarrow \mu_0 \cdot \mu : \Delta \vec{B} = \frac{\mu_0 \mu I}{4\pi} \frac{[\Delta \vec{l} \times \vec{r}]}{r^3}, а затем просуммировать все такие вклады.

Пример 2: Определите величину магнитной индукции внутри цилиндрического соленоида длиной l с радиусом r \ll l , обмотка которого состоит из N витков, по которым течет ток с силой I , и все его внутреннее пространство заполнено магнетиком с проницаемостью \mu . Найдите индуктивность этого соленоида.

image.png

Решение: Это уже знакомое нам рассуждение, и теперь мы по сути хотим еще раз обратить внимание на роль магнетика. Воспользуемся законом полного тока для прямоугольного «очень тонкого» контура, построенного так, как показано на рисунке (на котором изображено осевое сечение соленоида с сечениями его витков): одна «длинная» сторона прямоугольника внутри соленоида, другая – снаружи, а замыкающие их стороны имеют очень малую длину и проходят у самых торцов соленоида. Полный ток, пронизывающий контур, равен N I . Поскольку поле внутри почти во всем объеме сердечника почти однородно, то вклад в циркуляцию внутренней стороны (проходящей внутри магнитного сердечника) примерно равен \frac{1}{\mu} B_{in} l . Вклад в циркуляцию внешней стороны много меньше, так как там индукция существенно меньше. Вклад «коротких» сторон также очень мал – их длина мала, и к тому же поле почти перпендикулярно этим сторонам. Таким образом, закон полного тока дает: B_{in} l \approx \mu_0 \mu \cdot N I . Следовательно, B_{in} \approx \mu_0 \mu \frac{N}{l} I . Магнитный поток через каждый виток соленоида равен \Phi_1 = B_{in} S \approx \mu_0 \mu \frac{N}{l} I S , а поток через соленоид \Phi = N \cdot \Phi_1 \approx \mu_0 \mu \frac{N^2 S}{l} I \equiv L \cdot I . Значит, индуктивность соленоида L = \mu_0 \mu \frac{N^2 S}{l} .

Полезно вспомнить, как появлялась аналогичная характеристика – диэлектрическая проницаемость – в электростатике. Диэлектрики – непроводящие материалы, в состав которых входят заряженные частицы (электроны и атомные ядра). Во внешнем поле эти заряды смещаются в разные стороны (происходит поляризация диэлектриков) и возникает «дополнительное» электрическое поле, создаваемое «связанными» зарядами вещества. Это поле в изотропном линейном диэлектрике всегда направлено против внешнего поля, и оно ослабляет его. Поэтому в электростатике диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз поляризация уменьшает напряженность внешнего электрического поля. В случае магнетиков возможные ситуации более многообразны. Существует много материалов с разной реакцией на внешние магнитные поля. Наиболее часто обсуждаемые варианты – это диамагнетики ( 0 < \mu < 1 , намагниченность приводит к ослаблению внешнего поля), парамагнетики ( \mu > 1 , намагниченность приводит к не очень большому усилению внешнего поля) и ферромагнетики ( \mu \gg 1 – поле намагниченности значительно превосходит создавшее его внешнее магнитное поле, название связано с тем, что типичным представителем этого класса веществ является железо). На самом деле к ферромагнетикам понятие магнитной проницаемости как характеристики вещества не вполне применимо, поскольку на самом деле у них проницаемость – не постоянная: является функцией внешнего поля, так что связь индукции магнитного поля в ферромагнетике с создающими его токами нелинейна (то есть ферромагнетики не являются линейными магнетиками). Более того, индукция может быть отлична от нуля даже в отсутствие всяких токов: постоянные магниты – это обычно тела из намагниченного ферромагнетика, который сохраняет намагниченность в течении длительного времени. Эти свойства ферромагнетиков связаны с их строением. Атомы ферромагнетика обладают большим магнитным моментом, и взаимодействия между ними заставляют атомы объединяться в области с сонаправленными моментами. Эти области называют магнитными доменами, а возникшую благодаря взаимодействию атомов намагниченность называют «спонтанной». Такая спонтанная намагниченность может приводить к появлению внутри домена магнитных полей с очень значительной индукцией, но в отсутствие внешнего магнитного поля оси доменов развернуты случайно по отношению друг к другу, и средняя индукция мало отличается от нуля. Внешнее поле вызывает смещение доменных границ, объединение доменов и разворот их осей в одну сторону. В результате поле внутри ферромагнетика изменяется очень значительно. С изменением индукции внешнего поля функция \mu(B_{ex}) изменяется в очень широких пределах – от величин порядка 10^2 - 10^5 в «слабых» полях ( B_{ex} намного меньше индукции внутридоменного поля) до величин порядка единицы в «сильных» полях, индукция которых больше или примерно равна индукции внутридоменного поля.

r0.25

Пример 3: Область пространства с плоской границей заполнена магнетиком с проницаемостью \mu > 1 . По другую сторону границы находится воздух (магнитная проницаемость \mu' \approx 1 ). Внешними источниками в этой области создано постоянное магнитное поле. В магнетике линии индукции подходят к границе раздела под углом \alpha (назовем его «углом падения» линии индукции) к ее нормали. Под каким углом \beta («углом преломления») к этой нормали направлены линии магнитной индукции вблизи границы раздела в воздухе?

image.png

Решение: Будем исходить из основных свойств магнитного поля. Сначала вспомним, что магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю. Рассмотрим цилиндр, боковая поверхность которого перпендикулярную границе раздела, и при этом площади оснований, находящихся по разные стороны от границы, «очень малы» (настолько, что можно считать магнитную индукцию в каждой из сред неизменной в пределах соответствующей части поверхности цилиндра), а высота «бесконечно мала» (стремится к нулю). Поток через его полную поверхность равен нулю, причем поток через боковую поверхность стремится к нулю вместе с ее площадью. Потоки через основания площадью \Delta S определяются нормальными (перпендикулярными границе) компонентами магнитной индукции: +B'_n \Delta S - B_n \Delta S = 0 \Rightarrow B'_n = B_n . Мы установили, что отсутствие магнитных зарядов приводит к тому, что нормальные компоненты магнитной индукции на границах раздела магнетиков непрерывны. Теперь воспользуемся законом полного тока для контура, две стороны которого идут с двух сторон вдоль границы и «очень малы» (настолько, что можно считать магнитную индукцию в каждой из сред неизменной в пределах контура), а другие две («бесконечно малые» или «стремящиеся к нулю») пересекают границу перпендикулярно ей. Если по границе раздела не текут никакие токи, то циркуляция вектора \frac{\vec{B}}{\mu} по этому контуру равна нулю. Вклад стремящихся к нулю перпендикулярных границе сторон стремится к нулю вместе с их длиной, а вклад параллельных границе сторон длиной \Delta l зависит только от параллельной границе составляющей нашего вектора, и мы приходим к соотношению \frac{B'_{\parallel}}{\mu'} \Delta l - \frac{B_{\parallel}}{\mu} \Delta l = 0 \Rightarrow \frac{B_{\parallel}}{B'_{\parallel}} = \frac{\mu}{\mu'} \approx \mu. Значит, параллельная границе составляющая магнитной индукции в магнетике в \mu раз больше, чем в воздухе. Теперь мы можем вывести «закон преломления» линий магнитной индукции на границах раздела магнетиков: \operatorname{tg}(\beta) = \frac{B'_{\parallel}}{B'_n} = \frac{\mu' B_{\parallel}}{B_n \mu} = \frac{\mu'}{\mu} \operatorname{tg}(\alpha) \approx \frac{1}{\mu} \operatorname{tg}(\alpha). Как видно, в случае \mu > 1 при выходе линий индукции из магнетика в воздух угол «преломления» меньше угла «падения».

Важная особенность некоторых магнетиков (и в частности ферромагнетиков) – то, что намагниченность в них меняется не мгновенно, а за некоторое время. Поэтому связь магнитной индукции общего поля и внешнего поля может быть разной в разные моменты времени. Например, многие используемые на практике «постоянные» магниты – это образцы ферромагнетиков, которые намагнитили в сильном внешнем поле (при этом возникла высокая намагниченность материала), а потом вынули из него. Теперь внешнего поля нет, а намагниченность может сохраняться еще долго (для некоторых сортов железа – несколько лет!). Такую намагниченность называют «остаточной», и за счет нее создается магнитное поле без внешнего ( \vec{B}_{ex} = 0 ). Ясно, что в этом случае формула \vec{B} = \mu \cdot \vec{B}_{ex} уже не работает. Впрочем, есть анизотропные магнетики (у которых направление полного поля может не совпадать с направлением внешнего), магнетики «с памятью» (у которых индукция поля в данный момент времени зависит от «истории» вещества, то есть от процессов, происходивших с ним в прошлом), и много других необычных типов магнетиков. Мы в основном будем (как это обычно делают в школьном курсе) решать задачи про линейные изотропные магнетики, то есть у нас всегда будет выполняться соотношение \vec{B} = \mu \cdot \vec{B}_{ex} .