Элементы акустики: Лекция 6

Прохождение и отражение для плоской границы раздела при нормальном падении продольной волны

image.png В математике известно, что дифференциальные уравнения в частных производных (такие, как линейное волновое уравнение) имеют в выделенной области пространства бесконечно много решений. Для выделения конкретного решения мы должны использовать граничные условия, то есть описать поведение интересующей нас конкретной волны на границах рассматриваемой области. Это описание должно строиться на основе информации об источниках волн и с учетом «физики границы», то есть с учетом знания физических явлений, происходящих на границе. Рассмотрим в качестве примера уже знакомую нам акустическую волну в жидкости или газе (то есть продольную). Будем считать, что внешние источники создают в некоторой «среде 1 » (для которой нам известны равновесная плотность \rho_{1} и фазовая скорость волн с нужной нам частотой c_{1} ) плоскую волну с частотой \omega . Направив ось x вдоль направления ее распространения, мы можем описать смещения частиц среды в этой волне выражением \zeta(t, x)=\zeta_{0} \cdot \cos (\omega t-k x) , в котором k=\frac{\omega}{c_{1}} . Пусть также x=0 координата плоской границы раздела среды 1 (находящейся в области x<0 ) и среды 2(x>0) . В среде 2 равновесная плотность и фазовая скорость волны равны \rho_{2} и c_{2} соответственно. Таким образом, волна падает на эту границу раздела нормально (ее направление распространение перпендикулярно плоскости границы). В результате взаимодействия с границей раздела возникают еще две волны: отраженная \zeta_{r}(t, x) , которая возвращается в среду 1 , и прошедшая \zeta_{t}(t, x) - в среде 2 . Результирующие колебания смещения в среде 2 соответствуют одной прошедшей волне, а в среде 1 - суперпозицией (наложением) падающей и отраженной волны. Здесь мы, как обычно, пользуемся тем, что мы работаем в линейном приближении, благодаря которому суперпозиция двух решений волнового уравнения тоже является его решением. На границе раздела выражения для смещения частиц в обеих средах, должны «сшиваться», то есть для любого момента времени должно выполняться равенство \zeta(t, 0)+\zeta_{r}(t, 0)=\zeta_{t}(t, 0) . Ясно, что для гармонических волн такое возможно только при совпадении частот, поэтому частоты колебаний смещения в обеих средах одинаковы и равны частоте падающей волны. Волновые числа волн определяются по частоте через фазовые скорости, а вот амплитуды и начальные фазы отраженной и прошедшей волны нам изначально не известны. Следовательно, эти волны можем описывать «плосковолновыми» выражениями \zeta_{r}(t, x)=\zeta_{r} \cdot \cos \left(\omega t+k x+\varphi_{1}\right) и \zeta_{t}(t, x)=\zeta_{t} \cdot \cos \left(\omega t-q x+\varphi_{2}\right) , в которых q=\frac{\omega}{c_{2}} , а амплитуды и начальные фазы следует определять именно из граничных условий. В частности, условие сшивки зависимостей для смещения частиц среды имеет вид: \zeta_{0} \cos (\omega t-k x)+\left.\zeta_{r} \cos \left(\omega t+k x+\varphi_{1}\right)\right|_{x=0}=\left.\zeta_{t} \cos \left(\omega t-q x+\varphi_{2}\right)\right|_{x=0}.

С каждой из волн смещений связаны также и волны акустического давления. Так как скачка давлений в среде с конечной плотностью и конечной скоростью распространению в линейной теории быть не должно (такие скачки могут наблюдаться в ударных волнах большой амплитуды, но их динамика нелинейна), то и эти волны должны сшиваться на границе раздела. Как мы уже знаем, связь акустического давления со смещениями дается выражением \frac{\partial p}{\partial x}=-\rho_{0} \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial t^{2}} , и поэтому \delta p(t, x)=-c_{1} \rho_{1} \omega \zeta_{0} \cdot \sin (\omega t-k x) , и аналогично \delta p_{r}(t, x)=c_{1} \rho_{1} \omega \zeta_{r} \cdot \sin (\omega t+k x), \delta p_{t}(t, x)=-c_{2} \rho_{2} \omega \zeta_{t} \cdot \sin (\omega t-q x). Значит, условие сшивки зависимостей для акустического давления дает \left.c_{1} \rho_{1}\left[\zeta_{0} \sin (\omega t-k x)-\zeta_{r} \sin \left(\omega t+k x+\varphi_{1}\right)\right]\right|_{x=0}= \left.c_{2} \rho_{2} \zeta_{t} \sin \left(\omega t-q x+\varphi_{2}\right)\right|_{x=0}. Эти уравнения образуют полную систему. Если воспользоваться формулами для косинуса и синуса суммы углов и приравнять коэффициенты при \cos (\omega t) и \sin (\omega t) справа и слева в этих равенствах, получим:

\left\{\begin{array}{ll}

\zeta_{0}+\zeta_{r} \cdot \cos \left(\varphi_{1}\right)=\zeta_{t} \cdot \cos \left(\varphi_{2}\right) \qquad &(1)\\

\zeta_{r} \cdot \sin \left(\varphi_{1}\right)=\zeta_{t} \cdot \sin \left(\varphi_{2}\right) \qquad &(2) \\

c_{1} \rho_{1}\left[\zeta_{0}-\zeta_{r} \cdot \cos \left(\varphi_{1}\right)\right]=c_{2} \rho_{2} \zeta_{t} \cdot \cos \left(\varphi_{2}\right) \qquad &(3) \\

-c_{1} \rho_{1} \zeta_{r} \cdot \sin \left(\varphi_{1}\right)=c_{2} \rho_{2} \zeta_{t} \cdot \sin \left(\varphi_{2}\right) \qquad &(4)

\end{array}\right. Сразу обнаруживается, что решение этих уравнений будет зависеть от величины \kappa \equiv \frac{c_{2} \rho_{2}}{c_{1} \rho_{1}} , равной отношению произведений скорости звука в среде на ее плотность. Это произведение часто называют волновым сопротивлением среды, так что \kappa есть отношение волновых сопротивлений 2-й и 1-й сред. Умножая (2) на c_{1} \rho_{1} и складывая с (4), получаем \left(c_{2} \rho_{2}-c_{1} \rho_{1}\right) \cdot \zeta_{t} \cdot \sin \left(\varphi_{2}\right)=0, и, если волновые сопротивления сред отличаются c_{2} \rho_{2} \neq c_{1} \rho_{1} , а прошедшая волна действительно существует ( \zeta_{t} \neq 0 ), то из этого уравнения следует, что \sin \left(\varphi_{2}\right)=0 . Тогда из (2) следует, что, если отраженная волна существует, то и \sin \left(\varphi_{1}\right)=0 . Для большинства типов волн (и для нашей продольной акустической волны) изучение физики взаимодействия частиц веществ на границе указывает, что, поскольку прошедшая волна возбуждается колебаниями частиц в падающей, то сдвиг по фазе между этими колебаниями может возникать только при наличии «инертности границы» (например, когда на тонкий приповерхностный слой приходится масса, не стремящаяся к нулю в пределе нулевой толщины слоя) или при наличии поглощения. Примем, что в прозрачных средах с конечной плотностью массы \varphi_{2}=0 - это соответствует нашим уравнениям. Но, как мы видели даже на примере отражения импульса смещений натянутой струны от закрепленного конца, у отраженной волны сдвиг фазы по отношению к падающей может отличаться от нуля. Наши уравнения допускают \varphi_{1}=0 или \varphi_{1}=\pi . В соответствии с этим \cos \left(\varphi_{1}\right)= \pm 1 . Тогда из (1) и (3) получаем:

\left\{\begin{array}{l}

\zeta_{0} \pm \zeta_{r}=\zeta_{t} \\

\zeta_{0} \mp \zeta_{r}=\gamma \cdot \zeta_{t}

\end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l}

\zeta_{t}=\frac{2}{1+\gamma} \zeta_{0} \\

\zeta_{r}=\left|\frac{\gamma-1}{\gamma+1}\right| \zeta_{0}

\end{array}\right. Здесь \gamma \equiv \frac{c_{2} \rho_{2}}{c_{1} \rho_{1}}- отношение волновых сопротивлений сред, и именно от него, как следует из наших уравнений, зависит фаза отраженной волны: поскольку амплитуды мы по определению считаем положительными величинами, то для выполнения полученных соотношений необходимо, чтобы \varphi_{1}=0 при \gamma<1 и \varphi_{1}=\pi при \gamma>1 . Полезно также заметить, что при равенстве волновых сопротивлений сред ( \gamma=1 ) амплитуда отраженной волны обращается в ноль, то есть отражения в этом случае не происходит!