Элементы акустики: Лекция 6

Пример 2

Условие

Человеческое ухо - удивительный и очень чувствительный инструмент. Физиологи утверждают, что в диапазоне частот от 1 кГц до 3 кГц люди с хорошим слухом могут слышать колебания с амплитудой звукового давления (\delta p)_{m}=10^{-4} Па (эту величину часто называют «порогом слышимости» по звуковому давлению). Оцените амплитуду смещения «частиц воздуха» в этом частном диапазоне в волне, отвечающей порогу слышимости по звуковому давлениию.

Решение

Пусть у нас частота равна 2 кГц, скорость звука c \approx 340 м/с при равновесной плотности воздуха \rho_{0} \approx 1,3 кг/м^{3} . Определим для этих «типичных» параметров нужную нам амплитуду смещений: \zeta_{m}=\frac{(\delta p)_{m}}{2 \pi c \rho_{0} v} \approx 2 \cdot 10^{-11} м. Это меньше диаметра атома водорода ( 10^{-10} м)! При этом в такой волне \left|\frac{\partial \zeta}{\partial x}\right| \leq k \zeta_{m}=\frac{(\delta p)_{m}}{c^{2} \rho_{0}} \approx 7 \cdot 10^{-10}.

Отметим, что даже для волн на «болевом пороге» для человеческого уха (с (\delta p)_{m} \approx 100 Па) \left|\frac{\partial \zeta}{\partial x}\right|<10^{-3} . Так что приближение «малых смещений» для многих реальных звуковых волн вполне оправдано.

Ответ \zeta_{m} \approx 2 \cdot 10^{-11} м.

Энергетика волн:

Интересно изучить энергетические характеристики среды, в которой проходит акустическая волна. Вернемся к плоской волне \zeta(t, x)=\zeta_{m} \cdot \cos (\omega t-k x) . Ясно, что у частиц среды будет кинетическая энергия, плотность которой (энергию единицы объема) легко вычислить: если плотность частиц массы m равна n , то w_{K}=\frac{\Delta E_{K}}{\Delta V}=m \cdot n \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\partial \zeta}{\partial t}\right)^{2} \approx \frac{1}{2} \rho_{0} \omega^{2} \zeta_{m}^{2} \cdot \sin ^{2}(\omega t-k x) . Здесь, с учетом того, что мы используем линейное приближение \left|\frac{\partial \zeta}{\partial x}\right| \ll 1 , мы взяли равновесное значение плотности среды (без учета малых ее колебаний в волне). Конечно, гармоническое движение частиц предполагает наличие силы, возвращающей частицы к положению равновесия. Поэтому у среды должна возникать и некоторая плотность потенциальной энергии. В общем случае для ее расчета необходимо знание природы этих сил (например, есть ли это упругие силы в твердом теле или силы давления в газе или жидкости). Однако для линейных гармонических волн ситуация более простая. Вспомнив, как устроен энергетический баланс в гармонических колебаниях, сообразим, что мы можем утверждать, что средние по периоду значения потенциальной и кинетической энергии любого объекта, совершающего такие колебания, равны. При этом часто восприятие волны (например, человеческим ухом, которое распознает именно упорядоченные сигналы, и поэтому усредняет воздействие по интервалам времени, намного превышающим периоды колебаний большинства «акустических» частот - при таком усреднении случайные колебания в среднем дают ноль) опирается именно на усредненные по нескольким периодам характеристики. Как мы выяснили, для вычисления таких средних энергетических характеристик мы можем просто использовать удвоенную величину плотности кинетической энергии (и в линейной теории для гармонических волн этот вывод не зависит от природы сил, возвращающих частицы к положению равновесия!): средняя плотность полной энергии в волне \langle w\rangle=2\left\langle w_{K}\right\rangle \approx \frac{1}{2} \rho_{0} \omega^{2} \zeta_{m}^{2}=\frac{\left[(\delta p)_{m}\right]^{2}}{2 \rho_{0} c^{2}} . Во втором выражении средняя плотность энергии выражена через амплитуду звукового давления. Как и для световых волн, для акустических можно от выражения для плотности энергии перейти к более важной для анализа энергетики величине - плотности потока энергии (среднюю энергию волны, проходящую через единицу площади фронта за единицу времени, ее также называют интенсивностью волны) в акустической волне, умножая плотность энергии на скорость распространения волны: I=c\langle w\rangle=\frac{1}{2} c \rho_{0} \omega^{2} \zeta_{m}^{2}=\frac{\left[(\delta p)_{m}\right]^{2}}{2 \rho_{0} c} Именно интенсивность волны обычно считают показателем ее «действенности». В технике популярно измерение интенсивности акустических волн по логарифмической шкале - в дБ (децибелах): I[ дБ ] \equiv 10 \cdot \lg \left(\frac{I}{I_{0}}\right) . При этом за «начало отсчета» I [дБ] \equiv 0 обычно принимается «порог слышимости по интенсивности» I_{0}=10^{-12} Вт/м^{2} . Обратите внимание: «порог слышимости по звуковому давлению» и «порог слышимости по интенсивности» не соответствуют друг другу строго - во-первых, в формулу их связи входят другие величины (плотность воздуха и скорость звука), которые не являются постоянными, а во-вторых -

подстановка «типичных» числовых значений в эту формулу обнаружит, что порог по интенсивности лишь по порядку величины соответствует порогу слышимости по звуковому давлению, и, наконец, сама связь нелинейна - интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды давления. При этом шкала «в децибелах» - это шкала, построенная по безразмерным отношениям, так что при указании «силы звука» в децибелах принято во избежание путаницы указывать, какая из характеристик («энергетическая» или «силовая») используется и от какого начального уровня она отсчитывается. Если такого указания нет речь идет об энергетической шкале, отсчитываемой от уровня, задаваемого «порогом слышимости по интенсивности».

Распределение энергии по фронту

image.png Важная черта «неплоских» волн - то, что к них в процессе распространения изменяется площадь волнового фронта. Поэтому, даже при отсутствии каких-либо энергетических потерь интенсивность волны а точках фронта будет убывать из-за распределении энергии излучения по фронту.. Например, для сферической волны, у которой интенсивность на расстоянии r_{0} от источника равнялась I_{0} , при r>r_{0} I(r)=I_{0} \cdot \frac{r_{0}^{2}}{r^{2}}=\frac{P}{4 \pi r^{2}}, (здесь P - мощность источника). Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды сигнала, то амплитуда сферической волны в «полностью прозрачной» среде убывает обратно пропорционально расстоянию. Поэтому продольная сферическая волна смещений (происходящих по радиусу в каждой точке волнового фронта) описывается выражением \zeta(t, r)=\zeta_{m 0} \frac{r_{0}}{r} \cdot \cos (\omega t-k r). Впрочем, в анизотропной среде (то есть когда свойства среды различаются для разных направлений распространения) зависимость может оказаться сложнее даже для «изотропного» источника.