Элементы акустики: Лекция 6

Плотность среды внутри нашего цилиндра изменяется из-за передвижения его границ: \rho=\frac{\Delta m}{\sigma[\Delta x+\zeta(t, x+\Delta x)-\zeta(t, x)]}=\frac{\rho_{0}}{1+\frac{\partial \zeta^{\prime}}{\partial x}}, где \rho_{0} \equiv \frac{\Delta m}{\sigma \cdot \Delta x}- «равновесное» значение плотности среды. Значит, \frac{\partial \rho}{\partial x}=-\frac{\rho_{0}}{\left(1+\frac{\partial \zeta}{\partial x}\right)^{2}} \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}}=-\rho \cdot \frac{1}{1+\frac{\partial \zeta}{\partial x}} \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}} \Rightarrow \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{1}{1+\frac{\partial \zeta}{\partial x}} \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}}

Мы получили нелинейное дифференциальное уравнение (в частных производных), описывающее акустические волны в среде. Нелинейные уравнения в частных производных являются очень важной и до сих пор полностью не решенной задачей для современной математики. Однако многие интересные черты волновых процессов можно описать и в линейном приближении. Поэтому еще один важный прием - это линеаризация уравнений. В частности, в нашем уравнении в случае, когда смещения частиц среды очень малы по сравнению с характерными расстояниями, на которых в среде происходят вызванные волной изменения (например, с длинами волн), можно использовать приближение \left|\frac{\partial \zeta}{\partial x}\right| \ll 1 . Тогда наше уравнение принимает вид \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial t^{2}}-c^{2} \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}}=0. Это линейное волновое уравнение, которое мы использовали в теории линейных волн. Нетрудно обнаружить, что \zeta(t, x)=\zeta_{m} \cdot \cos (\omega t \mp k x) является решением этого уравнения, если \omega=c \cdot k , то есть c и есть скорость распространения волны, причем она не зависит от частоты (или длины волны). Как мы должны помнить, вообще любая функция вида y(x, t)=f(x-c t)+g(x+c t) с достаточно «гладкими» f и g является решением нашего волнового уравнения! Это означает, что в рамках нашей модели в среде в обе стороны могут распространяться волны почти любой формы - с одной и той же скоростью, не затухая и не влияя друг на друга. Необходимо понимать, что, как и ранее, такая простая картина получилось именно благодаря линейности уравнения, которая достигнута только за счет приближения малости отклонений, отсутствия напряжений другого типа (изгиба, поперечного смещения) и сил сопротивления среды. Учет этих факторов сразу существенно усложнит описание распространения акустических волн.

Пример 1

Условие

В акустической волне, распространяющейся в идеальном газе, скорость распространения волны, зависит от процесса, происходящего при колебаниях давления. Найдите скорости распространения звука с низкой частотой и с высокой частоты в зависимости от температуры.

Решение

Для низкочастотных колебаний режим распространения волны, как обсуждалось выше, близок к изотермическому. В этом случае: p=\frac{R T}{\mu} \rho \Rightarrow\left(\frac{d p}{d \rho}\right)_{пр}=\frac{R T}{\mu} \Rightarrow c=\sqrt{\frac{R T}{\mu}} Для высокочастотных колебаний режим - «почти адиабатический», и скорость распространения акустических волн оказывается выше: p \cdot V^{\gamma}=\text { const } \Rightarrow p=\text { const } \cdot \rho^{\gamma} \Rightarrow\left(\frac{d p}{d \rho}\right)_{пр}=\gamma \frac{p}{\rho}=\gamma \frac{R T}{\mu} \Rightarrow c=\sqrt{\gamma \frac{R T}{\mu}} Здесь \gamma - показатель адиабаты.

Ответ

Отметим еще одно важное обстоятельство. Со смещением частиц среды связаны и колебания давления (того самого звукового давления \delta p - отклонения давления среды от равновесного значения). У нас есть уравнение связи: \rho \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial t^{2}}=-\frac{\partial p}{\partial x} , и мы можем изучить колебания звукового давления в гармонической волне \zeta(t, x)=\zeta_{m} \cdot \cos(\omega t-k x) . Как нетрудно заметить, с учетом того, что в линейной гармонической волне колебания происходят вокруг \delta p=0 : \frac{\partial p}{\partial x}=-\rho_{0} \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial t^{2}}=\rho_{0} \omega^{2} \zeta_{m} \cdot \cos (\omega t-k x) \Rightarrow \delta p(t, x)=-c \rho_{0} \omega \zeta_{m} \cdot \sin (\omega t-k x). Таким образом, амплитуда колебаний звукового давления связана с амплитудой смещения частиц среды соотношением (\delta p)_{m}=c \rho_{0} \omega \cdot \zeta_{m}.