Элементы акустики

Пример 3 Условие Источник звука мощностью $P$ находится на плоском участке поверхности Земли и испускает звук изотропно в верхнюю полусферу. Атмосфера находится в практически «изотермическом» состоянии при температуре $T$, ускорение свободного падения $g$, средняя молярная масса воздуха $\mu$, универсальная газовая постоянная $R$. Найти зависимость амплитуды колебаний звукового давления от высоты на вертикали, проходящей через точку расположения источника. Решение На расстояниях, превыщающих размеры источника, можно считать, что интенсивность акустической волны убывает примерно пропорционально квадрату расстояния, и $$I(r)=\frac{P}{2 \pi r^{2}}.$$ С другой стороны, интенсивность связана с амплитудой колебаний звукового давления $$I=\frac{\left[(\delta p)_{m}\right]^{2}}{2 \rho_{0} c}.$$ Поэтому на указанной прямой $$(\delta p)_{m}(h)=\frac{1}{h} \sqrt{\frac{\rho_{0} c P}{\pi}}.$$ В соответствии с барометрической формулой равновесная плотность воздуха в изотермической атмосфере экспоненциально убывает с высотой: $$\rho_{0}(h)=\rho_{0}(0) \cdot e^{-\frac{\mu g}{R T} h},$$ а скорость звука в воздухе определяется его температурой и характером процессов уплотнения-растяжения в волне. Например, в изотермическом режиме колебаний (низкие частоты) $$ c^{2}=\left(\frac{d p}{d \rho}\right)_{T}=\frac{R T}{\mu}. $$ Таким образом, $$ (\delta p)_{m}(h)=\sqrt{\frac{\rho_{0}(0) P}{\pi} \sqrt{\frac{R T}{\mu}}} \cdot \frac{1}{h} e^{-\frac{\mu g}{2 R T} h}. $$ Ответ $(\delta p)_{m}(h)=\sqrt{\frac{\rho_{0}(0) P}{\pi} \sqrt{\frac{R T}{\mu}}} \cdot \frac{1}{h} e^{-\frac{\mu g}{2 R T} h}.$ Затухающие волны Обратимся теперь к случаю, когда в среде есть энергетические потери. Постараемся при этом не нарушить линейности теории (чтобы не потерять возможность комбинировать общее решение из «частных»). Линейность сохранится, если мы для волн с малой амплитудой введем для частиц среды силу сопротивления, линейную по скорости: $\vec{F}_{c}=-\alpha \cdot \vec{v}$. Тогда можно связать мощность энергетических потерь с кинетической энергией частиц: для одной частицы $P_{c}=\vec{F}_{c} \cdot \vec{v}=-\alpha \cdot \vec{v}^{2}=-\frac{2 \alpha}{m} E_{K}$, а мощность потерь в единице объема $$ \frac{\partial w}{\partial t}=Q_{c}=n \cdot P_{c}=-\frac{2 \alpha}{m} w_{K}=-\frac{\alpha}{m} w \equiv-\gamma \cdot w. $$ Здесь мы снова воспользовались тем, что для соотношений, в которых мы собирается провести усреднение по периоду волны, можно плотность полной энергии принять равной удвоенной плотности кинетической энергии частиц, и ввели новую характеристику декремент затухания $\gamma$, определяющий скорость убывания плотности энергии. Как видно, плотность энергии экспоненциально убывает с течением времени. С убыванием плотности энергии на фронте волны (при $x=c \cdot t$) связано убывание плотности потока энергии. При достаточно медленном затухании волны (то есть когда уменьшением плотности потока энергии за один период колебаний можно пренебречь, и учитывать только уменьшение на «больших» временах) интенсивность на фронте волны за счет затухания будет тоже изменяться экспоненциально: для плоской волны $$ I(x)=I(0) \cdot e^{-\gamma \cdot \frac{x}{c}}. $$ В соответствии с этим амплитуда волны тоже должна убывать - по закону $$ \zeta_{m}(x)=\zeta_{m}(0) \cdot e^{-\gamma \cdot x / 2 c}. $$ Величину $\delta \equiv \gamma / 2 c$ обычно называют коэффициентом затухания . Эта величина показывает, насколько быстро убывает амплитуда волны с пройденным расстоянием из-за линейных сил сопротивления. Размерность коэффициента затухания - обратная длина: как видно, $L_{c} \equiv 1 / \delta$ - это расстояние, на котором амплитуда убывает в е раз из-за действия в среде диссипативных сил. Для «неплоских» волн действуют обе причины убывания амплитуды - и затухание, и увеличение площади волнового фронта. Например. сферическая продольная гармоническая волна в среде с линейным затуханием описывается выражением $$ \zeta(t, r)=\zeta_{m 0} \frac{r_{0}}{r} e^{-\delta\left(r-r_{0}\right)} \cdot \cos (\omega t-k r). $$ Пример 4 Условие Очаг землетрясения, находящийся на глубине $H$ под поверхностью Земли, создал продольный волновой импульс со сферическим фронтом. При этом на поверхности точно над эпицентром (точка A) максимальная скорость колебаний поверхности равнялась $v_{m}$. Какой была максимальная скорость вертикальных колебаний поверхности в точке на расстоянии $r$ от точки А? Вещество Земли в этом районе считать однородным, Землю практически плоской. Коэффициент затухания волны в веществе Земли равен $\delta$. Решение Ясно, что амплитуда колебаний скорости связана с амплитудой колебаний смещения и вместе с не убывает по мере удаления от источника и затухания: $$ v_{m}(s)=\omega \cdot \zeta_{m}(s)=v_{0} \frac{s_{0}}{s} e^{-\delta \cdot s}. $$ Путь до точки наблюдения $s=\sqrt{H^{2}+r^{2}}$. Для определения амплитуды вертикальных колебаний нужно также учесть продольность волны: колебания происходят вдоль направления распространения волны, и их нужно спроецировать на вертикаль...