Математическое описание волн. Нелинейные волновые явления: Лекция 4

Как мы уже знаем, многие волновые явления имеют общие черты. Естественно, что при математическом описании волн возникает и общность используемых методов. Постараемся разобраться в общих схемах математического описания волн, начиная с самых простых примеров. При этом с самого начала мы должны понимать, что, как и в случае «простых» колебаний, мы должны исходить из уравнений процесса (например, для механических колебаний - из уравнений движения m a_{x}=F\left(x, v_{x}, t\right) ), которые с точки зрения математики являются уравнениями, связывающими скорости изменения величин (скорость - скорость изменения координаты, ускорение - скорость изменения скорости) и сами величины. Скорости изменения - это производные, так что мы будем иметь дело с дифференциальными уравнениями. В случае колебаний пружинного маятника это было уже знакомое нам уравнение гармонических колебаний m a_{x}=-k x \Rightarrow \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{k}{m} x=0 .

Важное его свойство - то, что оно линейное (вспомним, что уравнение колебаний математического маятника - маленького массивного груза на невесомой нерастяжимой нити - было в общем случае нелинейным, но в приближении малых отклонений сводилось к такому же уравнению гармонических колебаний).

В случае волн действует та же логика, но теперь величина, совершающая колебания, зависит не только от времени, но и от координат точки, в которой мы наблюдаем колебания. Начнем с изучения волн поперечных колебаний натянутой струны.

Итак, пусть однородная гибкая тонкая струна массы m с длиной L натянута с силой T , значительно превышающей действующую на нее силу тяжести. Постараемся найти скорость pacпpocтpaнения малых поперечных колебаний струны вдоль нее. При этом будем считать, что при малых колебаниях сила натяжения струны изменяется несущественно, и что сил сопротивления со стороны внешней среды нет.

image.png Направим ось x вдоль струны и рассмотрим малый ее элемент, имеющий на эту ось проекцию \Delta x , сместившийся поперек струны от положения равновесия на расстояние y . Масса этого участка равна \Delta m=\frac{m}{L} \Delta x . Пусть форма струны в момент времени t описывается уравнением y=y(x, t) . Запишем уравнение движения этого участка в проекции на ось y : \frac{m}{L} \Delta x \cdot \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=T \cdot \sin [\alpha(x+\Delta x)]-T \cdot \sin [\alpha(x)], где \alpha(x) - угол наклона касательной к струне в точке x . Здесь мы учли, что в рамках нашей модели части струны движутся только под действием неизменной по величине силы натяжения, и использовали обозначение для записи дифференцирования функции двух переменных по одной из них (в математике такую производную называют частной производной). Будем также считать, что в связи с малостью отклонений для любой точки |\alpha(x)| \ll 1 . Тогда \sin [\alpha(x)] \approx \alpha(x) \approx \operatorname{tg}[\alpha(x)] \approx \frac{\partial y}{\partial x} , и наше уравнение переписывается в виде \frac{m}{L} \cdot \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=T \cdot \frac{\frac{\partial y}{\partial x}(x+\Delta x)-\frac{\partial y}{\partial x}(x)}{\Delta x} \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}-\frac{L T}{m} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=0.

Полученное уравнение называется волновым уравнением, а величина c \equiv \sqrt{\frac{L T}{m}} имеет размерность скорости.

Общий вид линейного волнового уравнения \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}-c^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=0 . Нетрудно проверить, что y(x, t)=y_{m} \cdot \cos (\omega t \mp k x+\varphi) является решением этого уравнения, если \omega=c \cdot k , то есть c и есть скорость распространения волн по струне, причем она не зависит от частоты (или длины волны). Более того, можно заметить, что вообще любая функция вида y(x, t)=f(x-c t)+g(x+c t) с достаточно «гладкими» f и g является решением нашего волнового уравнения! Это означает, что в рамках нашей модели по струне в обе стороны могут распространяться волны почти любой формы - с одной и той же скоростью, не затухая и не влияя друг на друга. Впрочем, необходимо понимать, что такая простая картина получилось благодаря линейности уравнения, которая достигнута только за счет приближения малости отклонений, отсутствия напряжений изгиба, изменения силы продольного натяжения и сил сопротивления среды. Учет любого из этих факторов сразу существенно усложнит описание распространения волн по струне.

Как мы знаем из опыта анализа «обычных» колебаний, одно из самых важных следствий линейности волнового уравнения - то, что в линейном приближении сумма двух решений всегда тоже есть решение волнового уравнения. Это означает, что мы всегда можем искать решение, описывающее конкретный процесс, как суперпозицию (наложение) нескольких волн, подобранных так, чтобы выполнялись все необходимые требования.