Математическое описание волн. Нелинейные волновые явления: Лекция 4

В заключение рассмотрим существено более сложный пример нелинейности распространения импульса скорости в среде из «свободных» частиц, то есть в отсутствие каких-либо сил - и внешних, и сил взаимодействия между частицами. Ясно, что локальное уравнение движения частиц в такой среде необычайно просто: \frac{d \vec{v}}{d t}=0 - их ускорение равно нулю. Здесь важно учесть, что на самом деле ускорение частицы жидкости связано не только с зависимостью скорости от времени, но и с переносом жидкости - в точку наблюдения в данный момент времени t «приходит» частица, находившаяся в момент t-d t в немного другой точке. Поэтому полное изменение скорости d \vec{v}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} d t+\frac{\partial \vec{v}}{\partial x} \frac{d x}{d t} d t+\frac{\partial \vec{v}}{\partial y} \frac{d y}{d t} d t+\frac{\partial \vec{v}}{\partial z} \frac{d z}{d t} d t=\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{v} \cdot \frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{r}}\right) d t \Rightarrow \frac{d \vec{v}}{d t}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{v} \cdot \frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{r}} . Для случая одномерного движения с нулевым ускорением частиц: \frac{d \vec{v}}{d t}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{v} \cdot \frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{r}}=0 \Rightarrow \frac{\partial v_{x}}{\partial t}+v_{x} \cdot \frac{\partial v_{x}}{\partial x}=0 . Как видно, это нелинейное уравнение.

Пример 4

Условие

Опишите эволюцию одномерного свободного движения импульса скорости частиц среды с начальным профилем \mathrm{v}_{0}(x)=\mathrm{v}_{m} \cdot \exp \left(-x^{2} / 2 D\right) .

Решение

Можно заметить, что решением записанного выше уравнения свободного движения (уравнения Бюргерса) являются функции, определенные неявным выражением (то есть в виде алгебраического уравнения на искомую величину) v_{x}=f\left(x-v_{x} t\right), в котором f - любая дифференцируемая функция. В самом деле, если f^{\prime}{ }_{u} \equiv \frac{d f(u)}{d u} есть производная этой функции по ее аргументу, то \frac{\partial v_{x}}{\partial t}+v_{x} \cdot \frac{\partial v_{x}}{\partial x}=f^{\prime}\left(v_{x}\right) \frac{\partial\left(x-v_{x} t\right)}{\partial t}+v_{x} \cdot f^{\prime}\left(v_{x}\right) \frac{\partial\left(x-v_{x} t\right)}{\partial x}=-v_{x} \cdot f^{\prime}\left(v_{x}\right)+v_{x} \cdot f^{\prime}\left(v_{x}\right)=0 . Если мы выберем эту функцию в соответствии с начальным профилем, то мы получаем записанное в неявном виде точное решение нашей задачи: v_{x}(t, x)=v_{m} \cdot \exp \left[-\frac{\left(x-v_{x}(t, x) \cdot t\right)^{2}}{2 D}\right] .

image.png Конечно, оно не такое удобное, как явное - для построения графика профиля в заданный момент времени t>0 нужно решать трансцендентное уравнение. Но на самом деле понять характер происходящих с течением времени изменений можно довольно легко понять качественно, и для этого даже не обязательно знать решение. В самом деле, у нас точка импульса с большим значением скорости v_{x} быстрее движется вдоль оси x , и поэтому «догоняет и обгоняет» те, которые имеют меньше значение скорости. Мы можем нарисовать последовательные изменения профиля, задавая шаг по времени и вычисляя смещения каждой из точек (см. рисунок). Мы видим, что с течением времени «задний» фронт импульса становится более пологим, а «передний» - более крутым. Это явление называют укручением фронта, и оно является очень характерным примером влияния нелинейной дисперсии.

image.png Ясно, что в присутствии внешних сил (силы тяжести или воздействия ветра) импульс с очень крутым фронтом становится неустойчивым, и мы можем увидеть не только укручение, но и обрушение фронта, и даже более поразительные эффекты. Давайте, воспользовавшись имеющимся решением, найдем время, за которое наш импульс достигнет состояния с «бесконечной» крутизной фронта, то есть время, за которое появится точка, для которой \frac{\partial v_{x}}{\partial x}=\infty . Вычислим \frac{\partial v_{x}}{\partial x}=-v_{m} \cdot \exp \left[-\frac{\left(x-v_{x} t\right)^{2}}{2 D}\right] \frac{x-v_{x} t}{D}\left(1-t \frac{\partial v_{x}}{\partial x}\right) \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad \frac{\partial v_{x}}{\partial x}=-v_{m} \cdot \exp \left[-\frac{\left(x-v_{x} t\right)^{2}}{2 D}\right] \frac{x-v_{x} t}{D-t \cdot v_{m} \cdot\left(x-v_{x} t\right) \exp \left[-\left(x-v_{x} t\right)^{2} / 2 D\right]} . Для каждой точки профиля величина x-v_{x} t \equiv x_{0} остается неизменной в процессе распространения волны. Соответственно, обращение этой производной в бесконечность (обращение знаменателя в ноль) для этой точки происходит в момент времени t_{0}(z)=\frac{\sqrt{D}}{v_{m}} \cdot \frac{1}{z} e^{z^{2} / 2}, где z \equiv x_{0} / \sqrt{D} . Как нетрудно выяснить, эта величина принимает минимальное значение при z=1 , так что первой «неустойчивого» состояния достигает точка импульса с x_{0}=\sqrt{D} , и время, за которое она это сделает, равно t_{c}=\frac{\sqrt{e \cdot D}}{v_{m}} .

Оно растет с увеличением ширины начального импульса и обратно пропорционально максимальной скорости, что естественно. Это вычисление проведено для того, чтобы показать, что с неявным выражением можно работать и аналитически. Хотя, конечно, это «нешкольная» математика.

Нелинейность волновых уравнений способна преподнести удивительные сюрпризы. Например, у некоторых из них нашли решения, которые даже в присутствии диссипации (например, сил вязкого трения в реальной жидкости) остаются незатухающими и вообще не меняют своей формы в процессе распространения. Такие решения стали называть стационарными уединенными волнами, или солитонами. Пожалуй, еще более удивительно то, что такие решения находятся в очень многих волновых теориях, в том числе в теориях, описывающих физику микромира. А самое удивительное - что такие уединенные волны наблюдаются и в реальных волновых системах. В качестве примера процитируем «Сообщение о волнах» Дж. Скотт-Рассела из журнала Британской научной ассоциации за 1844 год:

«Я наблюдал за движением баржи, которую ташила по каналу пара лошадей, как вдруг баржа ... остановилась; ... масса воды в канале скопилась у носа баржи в бурном волнении, затем ... покатилась вперед с большой скоростью в форме большого уединенного возвышения. ... четко видимый водяной горб продолжал двигаться по каналу без заметного изменения формы или уменьшения скорости.»

image.png

Более того - солитоны в различных средах могут создаваться искусственно, и они могут играть важную роль и во многих областях техники, и в естественных явлениях.

Вообще в нашем курсе не хватило места для очень широкого круга линейных и нелинейных волновых явлений - прежде всего связанных с волнами большой амплитуды (например, с ударными волнами), волнами комбинированной физической природы (например, электромагнитно-акустическими), с «волнами вероятности» в микромире и еще очень многим. Скажем, что это - то, что интересно будет узнать в не очень отдаленном будущем.