Математическое описание волн. Нелинейные волновые явления: Лекция 4

Пример 3

Условие

Две струны одинаково «очень большой» длины L с однородно распределенными массами m и \frac{1}{4} m соединены последовательно и натянуты с силой T . Свободный конец первой струны вынуждают совершать поперечные гармонические колебания с амплитудой y_{m} и частотой \omega . Найдите амплитуду колебаний конца второй струны, от которого волна колебаний не отражается (в таком случае говорят, что способ закрепления этого второго конца отвечает «согласованной нагрузке»). Силой тяжести можно пренебречь.

Решение

Направим ось x вдоль «составной» струны, совместив начало координат с точкой соединения струн (тогда их свободные концы отвечают x= \pm L ). Ось y направлена перпендикулярно струне вдоль направления возбуждаемых колебаний). Ясно, что по обеим струнам бегут гармонические волны частотой \omega , но с разными волновыми числами: при x<0 это k=\frac{\omega}{c} , где c=\sqrt{\frac{L T}{m}} , а при x>0 k^{\prime}=\frac{\omega}{c^{\prime}}=\frac{1}{2} k . Согласно условию закон движения конца струны, отвечающего x=-L , можно записать в виде y(t,-L)=y_{m} \cdot \cos (\omega t+\varphi) , и во всем интервале -L \leq x \leq+L закон движения точек струны y(t, x) удовлетворяет волновому уравнению. Мы понимаем, что в точке x=0 находится граница раздела (точка соединения струн), на которой волна может разделиться на прошедшую и отраженную, а в точке x=L отражения не происходит. Таким образом, в линейном приближении мы можем сделать вывод: в области -L \leq x \leq 0 закон колебаний можно записать как наложение гармонической волны частоты \omega , бегущей вправо (обозначим ее амплитуду A ) и гармонической волны (с амплитудой B ), бегущей влево. При этом в области 0 \leq x \leq+L есть только гармоническая волна той же частоты (с амплитудой C ), бегущая вправо. Следовательно: y(t, x)=\left\{\begin{array}{ll}

A \cdot \cos (\omega t-k x)+B \cdot \cos (\omega t+k x), & \text { при} \quad -L \leq x \leq 0 \\

C \cdot \cos \left(\omega t-k^{\prime} x\right), & \text { при} \quad 0 \leq x \leq+L

\end{array} .\right. Отметим, что, согласно граничному условию в точке x=-L , A \cdot \cos (\omega t+k L)+B \cdot \cos (\omega t-k L)=y_{m} \cdot \cos (\omega t+\varphi), и мы получаем связь амплитуд волн с амплитудой и начальной фазой колебаний левого конца: (A+B) \cdot \cos (k L) \cdot \cos (\omega t)+(B-A) \cdot \sin (k L) \cdot \sin (\omega t)= =y_m \cdot \cos (\varphi) \cdot \cos (\omega t)-y_m \cdot \sin (\varphi) \cdot \sin (\omega t) \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l}A+B=y_m \cdot \frac{\cos (\varphi)}{\cos (k L)} \\ A-B=y_m \cdot \frac{\sin (\varphi)}{\sin (k L)}\end{array}\right.