Математическое описание волн. Нелинейные волновые явления: Лекция 4

А что происходит в точке x=0 ? Ясно, что струна не рвется, и в этой точке оба выражения («слева» и «справа» от точки x=0 ) должны давать одинаковое значение y(t, 0) : A \cdot \cos (\omega t)+B \cdot \cos (\omega t)=C \cdot \cos (\omega t) \Rightarrow A+B=C.

Так как по струнам масса распределена равномерно, то на их бесконечно маленький кусочек в окрестности точки соединения приходится практически нулевая масса. Поскольку этот кусочек движется с конечным ускорением, то векторная сумма приложенных к нему сил (а это силы натяжения первой и второй струн) равна нулю, то есть эти силы направлены в противоположные стороны - каждая вдоль касательной к своей струне. Значит, эти касательные совпадают, и функция \frac{\partial y}{\partial x}(t, 0) должна иметь в любой момент времени одинаковые значения «слева» и «справа» от точки x=0 : k A \cdot \sin (\omega t)-k B \cdot \sin (\omega t)=k^{\prime} C \cdot \sin (\omega t) \Rightarrow A-B=\frac{k^{\prime}}{k} C=\frac{1}{2} C.

Из двух полученных уравнений находим, что A=\frac{3}{4} C и B=\frac{1}{4} C . Используя эти соотношения в полученных выше уравнениях, находим не только ответ для амплитуды «прошедшей» через точку соединения струн волны, но и сдвиг фаз между бегущими по струне волнами и колебаниями левого конца: \left\{\begin{array}{l}

C \cdot \cos (k L)=y_{m} \cdot \cos (\varphi) \\

\frac{1}{2} C \cdot \sin (k L)=y_{m} \cdot \sin (\varphi)

\end{array} \quad \right\} \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l}

C=\frac{2 y_{m}}{\sqrt{4-3 \cdot \sin ^{2}(k L)}} \\

\varphi=\operatorname{arctg}\left[\frac{1}{2} \operatorname{tg}(k L)\right]

\end{array}\right.

Вспомним, что величина k L=\omega \sqrt{\frac{m L}{T}} нам известна, и приходим к выводу, что мы нашли даже больше, чем просили. Закон колебания правого конца струны y(t,+L)=\frac{2 y_{m}}{\sqrt{4-3 \cdot \sin ^{2}(k L)}} \cos \left(\omega t-\frac{k L}{2}\right) .

Так что амплитуда этих колебаний равна \frac{2 y_{m}}{\sqrt{4-3 \cdot \sin ^{2}(k L)}} , а сдвиг фаз колебаний правого конца относительно левого \Delta \varphi=-\frac{k L}{2}-\operatorname{arctg}\left[\frac{1}{2} \operatorname{tg}(k L)\right] .

Ответ \frac{2 y_{m}}{\sqrt{4-3 \cdot \sin ^{2}(k L)}} .

В более сложном случае волна распространяется не вдоль одной оси, и закон изменения величины, испытывающей колебания - это u(t, x, y, z) \equiv u(t, \vec{r}) . Тогда при отражении от границы раздела сред волна тоже разделяется на прошедшую и отраженную, но теперь эти волны могут отличаться от падающей не только амплитудой и фазой, но и направлением распространения (мы, например, можем наблюдать преломление прошедшей волны, знакомое нам по геометрической оптике). Можно ли объяснить преломление в рамках волнового описания? Можно.

image.png Действительно, рассмотрим плоскую границу раздела сред, в которых скорости распространения волны равны c_{1} и c_{2} . Пусть угол падения волны (угол между направлением распространения и перпендикуляром к поверхности раздела сред) равен \alpha . Точно такой же угол будет между фронтом падающей волны и поверхностью раздела. Обозначим углы преломления и отражения \beta и \gamma соответственно. Рассмотрим момент времени, когда некий фронт падающей волны «большой» ширины коснулся своим краем поверхности раздела сред (на рисунке с точкой касания совмещено начало координат), и будем его далее считать началом отсчета времени. Другой край этого фронта дойдет до границы раздела за время t=\frac{D \cdot \sin (\alpha)}{c_{1}} , где D - ширина области падения данного фронта на границу. За это время фронт отраженной волны уйдет от начала координат (точки первого касания фронта падающей и поверхности) на расстояние s_{1}=c_{1} t=D \cdot \sin (\alpha)=D \cdot \sin (\gamma) , и мы понимаем, что угол падения должен быть равен углу отражения ( \alpha=\gamma ), и это есть просто следствие того, что фазовые скорости отраженной и падающей волн равны. Фронт прошедшей волны за это же время уйдет от начала координат на расстояние s_{2}=c_{2} t=\frac{c_{2}}{c_{1}} D \cdot \sin (\alpha)=D \cdot \sin (\beta) . Как видно, мы приходим к закону Снелла \frac{\sin (\beta)}{\sin (\alpha)}=\frac{c_{2}}{c_{1}}, причем он опять есть просто следствие геометрии и того, что фазовые скорости прошедшей и падающей волн различны. Отметим, что мы получили законы, совпадающие с законами геометрической оптики в теории света, причем мы не использовали какие-либо «особые» свойства электромагнитных волн. Это лишний раз демонстрирует нам «похожесть» волн различной природы. Например, во многих задах о распространении звука можно пользоваться методами геометрической акустики, рассматривая звук как набор прямолинейных в однородной среде «акустических лучей», испытывающих отражение и преломление на неоднородностях среды. Важно только понимать, что, как и в оптике, в этих методах являются приближенными. На самом деле в приведенном выше рассуждении мы использовали условие, что величина D намного больше длины волны, иначе нам нужно было бы учитывать дифракцию волн, связанную с ограничением ширины фронта.

image.png