Математическое описание волн. Нелинейные волновые явления: Лекция 4

Пример 1

Условие

Описать отражение импульса поперечной деформации натянутой струны от ее закрепленного конца.

2 Решение

Мы уже знаем, что малые поперечные колебания натянутой струны тоже удовлетворяют линейному волновому уравнению \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}-c^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=0, в котором скорость c \equiv \sqrt{\frac{L T}{m}} выражается через силу натяжения струны T , ее длину L и массу m . Знаем, что его решение должно иметь вид y(x, t)=f(x-c t)+g(x+c t) . Поэтому нам необходимо построить решение уравнения, которое поначалу совпадает с заданным импульсом, движущимся «вправо» со скоростью c=\sqrt{\frac{L T}{m}} , но после того, как импульс добежит до точки закрепления, он начинает видоизменяться так, чтобы поперечное смещение струны в точке закрепления было равно нулю в любой момент времени. Но оно все равно должно остаться комбинацией импульсов, бегущих по струне в разные стороны.

image.png Можно придумать необходимую комбинацию: добавим к нашему импульсу во всех точках струны «перевернутый» импульс, движущийся навстречу с той же скоростью, «выходящий» из-за точки закрепления с того же момента, как исходный импульс начнет ее проходить. Ясно, что суммарное смещение струны будет удовлетворять линейному волновому уравнению, и в любой момент времени в точке закрепления суммарное смещение будет нулем. Дальнейшее построение решения можно реализовать как серию рисунков, из которых видно, что в итоге импульс отразится от точки закрепления, «перевернувшись». Таким образом, решение строится по сути с помощью серии рисунков.

Пример 2

Условие

Найти частоты гармонических «стоячих волн» на однородной гибкой тонкой струне массы m и длиной L , натянутой с силой T между закрепленными концами.

Решение

И в этом случае нам достаточно заметить, что комбинация двух бегущих в разные стороны гармонических волн одинаковой амплитуды дает нужное нам решение: y(x, t)=y_{m} \cdot \cos \left(\omega t-k x+\varphi_{1}\right)+y_{m} \cdot \cos \left(\omega t+k x+\varphi_{2}\right)=2 y_{m} \cdot \cos (\omega t+\varphi) \cdot \cos \left(k x+\varphi^{\prime}\right) . Здесь мы использовали формулу суммы косинусов и обозначили \varphi \equiv \frac{\varphi_{1}+\varphi_{2}}{2} и \varphi^{\prime} \equiv \frac{\varphi_{2}-\varphi_{1}}{2} .

Пусть закрепленные концы находятся в точках x=0 и x=L . Тогда решение нужно подчинить «граничным» условиям y(0, t) \equiv 0 и y(L, t) \equiv 0 . Первое условие можно выполнить, выбрав \varphi^{\prime} \equiv \frac{\pi}{2} , чтобы y(x, t)=2 y_{m} \cdot \cos (\omega t+\varphi) \cdot \sin (k x) . Второе условие при этом дает k L=\pi \cdot n, n=1,2, \ldots . Значит, возможные частоты стоячих волн (или, как их еще называют, собственных мод колебаний струны) \omega_{n}=c k=\pi \sqrt{\frac{T}{m L}} \cdot n .

Как и в случае «обычных» колебаний, линейность уравнения позволяет нам представлять решения волнового уравнения в виде комбинации «гармоник» - колебаний по гармоническому закону. Например, все волны, бегущие «вправо» можно записать как \zeta(t, x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \cdot \cos \left(\omega_{n} t-k_{n} x+\varphi_{n}\right)

В соответствии с волновым уравнением, для всех гармоник k_{n}=\frac{\omega_{n}}{c} , а величины \varphi_{n} описывают сдвиги по фазе колебаний гармоник. Таким образом, разные сигналы будут отличаться набором частот гармоник (то есть «спектром»), каждой из которой соответствуют свои амплитуда и начальная фаза. Отметим, что волны, бегущие «влево» формально можно включить в эту сумму как гармоники с отрицательными частотами или (по желанию) волновыми числами.

Теперь давайте разберем, как на распространение волн влияет наличие «границ раздела» разных сред.