Элементы акустики: Лекция 6

Акустические волны - распространяющиеся колебания давления (в жидкостях или газах) или напряжения (в твердых телах), обусловленные коллективными смещениями молекул. По частоте эти колебания подразделяют на звуковые волны (частота от 20 Гц до 20 кГц), инфразвук (менее 20 Гц) и ультразвук (свыше 20 кГц).

Волновое уравнение

image.png Один из важных приемов теории волн - локальность описания. Это означает, что нам нужно изучать динамику «почти точечных» участков любой среды, в которой распространяются волны. Рассмотрим продольные акустические колебания (то есть колебания звукового давления - отклонения давления среды от равновесного значения, считающегося примерно постоянным) с плоским фронтом, распространяющиеся вдоль оси x . Выделим в среде цилиндр с площадью оснований \sigma и длиной \Delta x . Запишем уравнение движения для «бесконечно тонкого слоя частиц среды», смещение частиц среды в котором от равновесного положения вдоль направления распространения волны в некоторый момент времени равно \zeta(t, x) , с учетом того, что ускорение этого слоя создается разностью сил давления в среде: \rho \cdot \sigma \cdot d x \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial t^{2}}=[p(x)-p(x+d x)] \sigma=-\frac{\partial p}{\partial x} \cdot \sigma \cdot d x \Rightarrow \rho \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial t^{2}}=-\frac{\partial p}{\partial x}. \qquad (1)

Здесь изначально, во избежание недоразумений, нужно договориться о важной вещи. Говоря «частицы среды», мы все же не имеем в виду молекулы. К молекулам нельзя применять уравнения классической механики (они, строго говоря, есть квантовые объекты). И к отдельной молекуле вообще говоря неприменимо понятие «равновесного состояния». Поэтому для нас «частицами среды» будут ее «очень малые кусочки» - с размерами, намного меньшими интересующих нас расстояний, но все же макроскопические - то есть содержащие очень много молекул.

В среде с заданными физическими свойствами давление определяется из уравнения состояния (например, для идеального газа - из уравнения Менделеева-Клапейрона) и уравнения происходящего с частицами среды процесса (например, если период колебаний будет намного больше времени релаксации среды к равновесному состоянию, то в каждой «частице» будет успевать установиться тепловое равновесие, и процесс будет близок к изотермическому, а если много меньше - теплообмен не будет «успевать» происходить за такие времена, и процесс будет близок к адиабатическому). В результате для определенного процесса давление можно с использованием уравнения состояния и уравнения процесса однозначно связать с плотностью среды. Поэтому можно считать, что \frac{\partial p}{\partial x}=\left(\frac{d p}{d \rho}\right)_{пр} \cdot \frac{\partial \rho}{\partial x}. Здесь \left(\frac{d p}{d \rho}\right)_{пр} - производная именно упомянутой зависимости. Эта величина является функцией параметров среды, имеющая размерность квадрата скорости. Далее будем использовать обозначение \left(\frac{d p}{d \rho}\right)_{пр} \equiv c^{2} . Тогда из (1) получаем \rho \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial t^{2}}=-c^{2} \frac{\partial \rho}{\partial x}.