Математическое описание волн. Нелинейные волновые явления: Лекция 4

И все-таки самое важное приближение, которое мы использовали пока во всех наших рассуждениях - это приближение линейности. Именно оно позволяет нам строить описание волн как комбинации волн с определенными частотами, скоростями и направлениями распространения. На самом деле именно учет нелинейности вместе с учетом анизотропии сред (то есть неравноправия разных направлений распространения) и диссипации (то есть потери энергии волной - например, из-за вязкого трения в газе или жидкости для акустических волн) и есть наиболее сложная и наиболее интересная задача в теории волн. Ясно, что уравнения от этого станут сильно сложнее, и будут «потеряны» два важных свойства линейных волн, которые сильно упрощали их анализ. Во-первых, линейная комбинация решений перестанет быть решением этих уравнений, и мы уже не сможем заявлять, что мы любую волну можем записать как суперпозицию волн заданного типа (то есть как набор гармонических волн). Тогда и анализ спектра волны станет сложнее - например, нам придется считать, что он изменяется с течением времени (то есть если мы попрежнему будем записывать волну в виде комбинации гармонических, сами коэффициенты этой комбинации нам придется считать функциями времени, а не постоянными). Во-вторых, у нас почти наверняка исчезнут волны без дисперсии - например, скорость разных спектральных компонент будет различна. Кроме того, скорость может зависеть и от самого отклонения «величины» волны от положения равновесия (например, от акустического давления или от скорости частиц среды). Например, в нелинейной оптике мы можем наблюдать такие эффекты, как изменение частоть световой волны при прохождении «нелинейной» среды (на фото мы видим пример преобразования частоты, превращающее в нелинейном кристалле красный луч в зеленый) или автофокусировку светового пучка, когда у пучка малого диаметра «исчезает» дифракционная расходимость.

Но строгий анализ этих замечательных явлений, к сожалению, «не помещается» в программу нашего курса и требуют отдельного изучения. Поэтому ограничимся простыми соображениями, позволяющими понять их природу. Например, обратим внимание, что при наличии квадратичной нелинейности, то есть если уравнение некой волны будет иметь вид \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}-c^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}-\beta \cdot y^{2}=0, то у этого уравнения не будет решений в виде монохроматических волн! В самом деле, если y=a \cdot \cos (\omega t-k x) , то y^{2}=a^{2} \cdot \cos ^{2}(\omega t-k x)=\frac{a^{2}}{2} \cos (2 \omega t-2 k x)+\frac{a^{2}}{2}. Мы обнаружили, что в этом случае вместе с любой частотой в волне должна присутствавать (пусть даже с небольшой амплитудой, если квадратичное слагаемое мало) удвоенная частота. При этом вместе с ней (с еще меньшей амплитудой) появится четверная и так далее. Этот нелинейный эффект называют генерацией высших гармоник.

Другой пример появляется при распространении световой волны в среде, показатель преломления которой зависим от амплитуды волны (то есть от максимальной величины напряженности электрического поля): n \approx n_{0}+n_{2} E_{m}^{2} , причем второе слагаемое будем считать малой поправкой к первому. Пусть в этой среде внутри узкого цилиндрического канала постоянного радиуса распространяется параллельный пучок световых лучей. При какой мощности пучка такое возможно? С одной стороны, при малом радиусе канала a дифракция должна приводить к уширению пучка - дифракционная расходимость пучка с таким радиусом \vartheta_{d} \approx \frac{\lambda}{2 a} \approx \frac{\pi c}{n_{0} \omega a}, где \omega - циклическая частота волны. Однако при n_{2}>0 из-за нелинейности показатель преломления в канале n \approx n_{0}+n_{2} E_{m}^{2} больше, чем вне него ( n_{0} ). Луч, отклоняющийся от оси канала из-за дифракции, не выйдет из канала, если угол падения его на «стенку» канала будет больше или равен углу полного внутреннего отражения \alpha_{c} . Таким образом, «критическая» мощность соответствует условию \vartheta_{d}=\frac{\pi}{2}-\alpha_{c} \equiv \vartheta_{c} \ll 1 . Так как \cos \left(\vartheta_{c}\right) \approx 1-\frac{\vartheta_{c}^{2}}{2}=\sin \left(\alpha_{c}\right)=\frac{n_{0}}{n_{0}+n_{2} E_{m}^{2}} \approx 1-\frac{n_{2}}{n_{0}} E_{m}^{2}, то это условие сводится к требованию E_{m}^{2}=\frac{n_{0}}{2 n_{2}} \vartheta_{d}^{2}=\frac{\pi^{2} c^{2}}{2 n_{0} n_{2} \omega^{2}} \frac{1}{a^{2}}. Соответствующая «критическая» величина потока энергии I_{c}=\frac{\varepsilon_{0} n_{0} c}{2} E_{m}^{2}=\frac{\varepsilon_{0} c^{3}}{4 n_{2} \omega^{2}} \frac{\pi^{2}}{a^{2}}. Таким образом, критическая мощность W_{c}=I \cdot \pi a^{2}=\frac{\pi^{3} \varepsilon_{0} c^{3}}{4 n_{2} \omega^{2}}, не зависит от диаметра канала, но из-за малости нелинейной константы n_{2} она обычно велика. Таким образом, мы обнаружили, что в некоторых средах мощный лазерный пучок сам создает себе «волновод» нужного диаметра, изменяя показатель преломления среды. Это и есть эффект автофокусировки мощных пучков света в среде с квадратичной нелинейностью. Наше вычисление и в этот раз было оценочным, но, как показали эксперименты, это явление действительно наблюдается, более того - по порядку величины полученная формула дает правильное значение необходимой мощности!