Движение в неоднородном поле. Система дрейфовых движений заряда: Лекция 10

На самом деле это явление довольно сложное, и более реалистичная оценка строится с использованием более сложных математических методов.

image.png

Начнем все сначала, но не будем использовать «оценочные» упрощения. Снова рассмотрим движение частицы с зарядом q > 0 в плоскости (xy) , перпендикулярной слабонеоднородному магнитному полю \vec{B} = B(x) \vec{e}_z . Обозначим B_0 \equiv B(0) , и будем считать «малой» величину \beta \equiv \frac{1}{B} \left| \frac{dB}{dx} \right| , то есть будем считать, что \beta \cdot R_0 = \beta \frac{m v_0}{q B_0} \ll 1 . Пусть в начальный момент скорость направлена по оси x , и начало координат совмещено с точкой, в которой находится частица (см. рис.). «Аккуратный» анализ должен строиться на основании усреднения уравнений движения по периоду ларморовского вращения \langle T \rangle = 2\pi \frac{m}{q \langle B \rangle} . Будем в ходе вычислений следить за «порядком малости» учитываемых поправок. Для этого будем использовать обозначение o(\beta^n) , которое указывает на величины одного порядка малости с безразмерными слагаемыми, содержащими \beta^n . Кроме того, будем использовать в качестве удобной переменной \varphi - угол между вектором скорости и направлением оси x . Так как с точностью до поправок порядка \beta движение есть ларморовское вращение, то x \approx R_0 \sin(\varphi) + o(\beta) . А \langle T \rangle \approx 2\pi \frac{m}{q B_0} + o(\beta) .

Значение мгновенной угловой скорости частицы \omega = \frac{q B(x)}{m} \approx \frac{q B_0}{m} [1 + \beta x + o(\beta^2)] . Кроме того, если вспомнить, что в магнитном поле (даже неоднородном) модуль скорости неизменен и равен v_0 , найдем изменение координаты y на правой «половине» петли траектории: (\Delta y)_1 = \int\limits_{0}^{T_1} v_y dt = -v_0 \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\sin \varphi}{\omega} d\varphi \approx - \frac{m v_0}{q B_0} \int\limits_{0}^{\pi} (1 - \beta x + o(\beta^2)) \sin \varphi d\varphi \approx \approx -2 R_0 + \beta \frac{m v_0}{q B_0} R_0 \int\limits_{0}^{\pi} \sin^2 \varphi d\varphi + o(\beta^2) = -2 R_0 + \frac{\pi m^2 v_0^2}{2 q^2 B_0^2} \beta + o(\beta^2). Мы учли, что \frac{1}{1 + \beta x + o(\beta^2)} \approx 1 - \beta x + o(\beta^2) и что среднее значение квадрата синуса на таком интервале равно ½. Записав аналогично изменение y на левой «половине» (\Delta y)_2 = +2 R_0 + \frac{\pi m^2 v_0^2}{2 q^2 B_0^2} \beta + o(\beta^2). и заметив, что вращательные смещения сокращаются, а смещения ларморовского центра складываются, получим: \Delta y = (\Delta y)_1 + (\Delta y)_2 \approx \frac{\pi m^2 v_0^2}{q^2 B_0^2} \beta. Таким образом, скорость поперечного дрейфа (то есть скорость смещения ларморовского центра вдоль оси y ) в линейном приближении по \beta : V_y^{(1)} \approx \frac{\Delta y}{\langle T \rangle} \approx \frac{m v^2}{2 q B_0} \beta = - \frac{m v^2}{2 q B^2} \frac{dB}{dx} = - \frac{m v^2}{2q} \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{B} \right).

Нетрудно заметить, что при B(x) = B_0(1 + \beta x) получается ответ в виде V_y \approx \frac{m v_0^2}{2 q B_0} \beta . Важно также обратить внимание на сопоставление результатов «школьного» («грубого») подхода и «честного». Видно, что «грубый» подход дает величину, в \frac{\pi}{2} раз меньшую, то есть его ошибка – около 30