Движение в неоднородном поле. Система дрейфовых движений заряда: Лекция 10

Часть II: Наложение различных дрейфовых движений.

В еще более общем случае мы можем столкнуться с задачами, в котором магнитное поле медленно меняется, и при этом есть «дополнительная» сила другой природы. В этом случае, как мы видели в разобранных примерах, из общего движения частицы можно выделить всевозможные «дрейфовые» движения: продольный дрейф, поперечный дрейф (в медленно меняющемся неоднородном поле), дрейф в скрещенных полях. Конечно, решение общей задачи движения частицы в произвольном постоянном магнитном поле – очень сложная операция. При этом в профессиональных методах ее решения широко используется «дрейфовое» приближение, в котором движение частицы рассматривается как «быстрое» ларморовское вращение с «медленными» (то есть происходящими за времена, намного превышающие период этого вращения) изменениями его параметров: угловой скорости, радиуса, положения центра и ориентации плоскости окружности. В более простых (почти «школьных») задачах нечто похожее тоже можно использовать. В таких более простых задачах обычно пренебрегают поворотом плоскости окружности и рассматривают ситуации, когда общий «дрейф» является почти равномерным. Для этого используется прием с переходом в «дрейфующую» Инерциальную Систему Отсчета (ИСО), который проще выполнить «поэтапно». Например, рассмотрим движение частицы в скрещенных магнитном и электрическом полях. Если в движении частицы, описываемом в ИСО К, связанной с наблюдателем, присутствует продольный дрейф, в первую очередь переходят в ИСО К ' , движущуюся относительно К со скоростью продольного дрейфа (вдоль \vec{B} ). Как мы видели, в этом случае в К ' магнитное поле \vec{B}' = \vec{B} и электрическое поле \vec{E}' = \vec{E} + [\vec{v}_{\parallel} \times \vec{B}] = \vec{E} остаются неизменными, но теперь движение частицы происходит только в плоскости, перпендикулярной \vec{B} . Затем можно перейти в ИСО К '' , движущуюся относительно К ' со скоростью дрейфа в скрещенных полях \vec{u} = \frac{1}{B^2} [\vec{E}' \times \vec{B}] . Такой переход, как мы видели, «уберет» в ИСО К '' электрической поле: \vec{B}'' = \vec{B} и \vec{E}'' = \vec{E}' + [\vec{u} \times \vec{B}] = 0 . Так что в К '' мы получим задачу о движении частицы только в магнитном поле с начальной скоростью \vec{v}'' = \vec{v}_0 - \vec{v}_{\parallel} - \vec{u} , перпендикулярной \vec{B} . Ее решение – просто ларморовское вращение.

Пример 2: В некоторой области пространства создано однородное магнитное поле с индукцией B = 0,1 Тл, линии индукции которого горизонтальны, и вертикальное однородное электрическое поле с напряженностью E = 2 кВ/м. В эту область влетает протон (удельный заряд которого равен \frac{e}{m_p} \approx 9,65 \times 10^7 Кл/кг) со скоростью v_0 = 20 км/с под углом \alpha = 60^\circ к горизонту, причем \vec{v}_0 и \vec{B} лежат в одной вертикальной плоскости. Пренебрегая излучением и действием поля тяжести, исследовать движение протона в этой области.

Решение: В системе отсчета К, связанной с Землей (и наблюдателем), выберем систему координат: направим ось z вертикально вверх, ось x – вдоль вектора индукции, а начало координат совмести с точкой старта. Движение частицы в этой системе полей, как следует из общей теории, можно представить как комбинацию продольного дрейфа (вдоль оси x ), дрейфа в скрещенных полях (вдоль оси y ) и ларморовского вращения. Для выделения «чистого» вращения устраним дрейфовые движения переходом в новую систему отсчета. Сначала перейдем в СО К ' , движущуюся относительно исходной со скоростью \vec{v}_{\parallel} = v_0 \cos(\alpha) \vec{e}_x = \frac{v_0}{2} \vec{e}_x (и теперь начальная скорость протона \vec{v}'_0 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_0 \vec{e}_z ). Затем перейдем в СО К '' , движущуюся о скоростью дрейфа в скрещенных полях \vec{u} = \frac{1}{B^2} [\vec{E} \times \vec{B}] = \frac{E}{B} \vec{e}_y = v_0 \vec{e}_y . Здесь мы воспользовались тем, что численной значение \frac{E}{B} в точности совпадает с величиной v_0 = 20 км/с. Значит, общая скорость движения К '' относительно К равна \vec{u}_{\Sigma} = \frac{v_0}{2} \vec{e}_x + v_0 \vec{e}_y . В этой системе отсчета протон движется только под действием однородного магнитного поля в плоскости (y''z'') , а его начальная скорость \vec{v}'' = \vec{v}_0 - \vec{u}'' = -v_0 \vec{e}_y'' + \frac{\sqrt{3}}{2} v_0 \vec{e}_z'' . Ее модуль равен v'' = \frac{\sqrt{7}}{2} v_0 . Таким образом, протон в К '' движется по окружности радиуса R = \frac{m_p v_0''}{eB} = \frac{\sqrt{7} m_p v_0}{2 e B} \approx 2,7 мм с угловой скоростью \omega = \frac{eB}{m} \approx 9,65 \times 10^6 с ^{-1} . Направлена начальная скорость против оси y'' под углом \beta = \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}/2}{1} \approx 40,9^\circ к ней (см. рисунок), и положение окружности показано на рисунке.

Общее движение состоит из «полного дрейфа» со скоростью \vec{u}'' = \frac{v_0}{2} \vec{e}_x + v_0 \vec{e}_y и этого вращения: если представить себе цилиндрическую трубу радиуса R , ось которой – это линия движения центра окружности от начального положения С, показанного на рисунке, со скоростью \vec{u}'' , то траектория частицы в СО К – винтовая линия с шагом d = u'' T = \frac{\sqrt{5}}{2} v_0 \times 2\pi \frac{m_p}{eB} = \pi \sqrt{5} \frac{m_p v_0}{eB} \approx 14,3 мм, наматывающаяся на этот цилиндр.