Движение в неоднородном поле. Система дрейфовых движений заряда

Часть II: Наложение различных дрейфовых движений. В еще более общем случае мы можем столкнуться с задачами, в котором магнитное поле медленно меняется, и при этом есть «дополнительная» сила другой природы. В этом случае, как мы видели в разобранных примерах, из общего движения частицы можно выделить всевозможные «дрейфовые» движения: продольный дрейф, поперечный дрейф (в медленно меняющемся неоднородном поле), дрейф в скрещенных полях. Конечно, решение общей задачи движения частицы в произвольном постоянном магнитном поле – очень сложная операция. При этом в профессиональных методах ее решения широко используется «дрейфовое» приближение, в котором движение частицы рассматривается как «быстрое» ларморовское вращение с «медленными» (то есть происходящими за времена, намного превышающие период этого вращения) изменениями его параметров: угловой скорости, радиуса, положения центра и ориентации плоскости окружности. В более простых (почти «школьных») задачах нечто похожее тоже можно использовать. В таких более простых задачах обычно пренебрегают поворотом плоскости окружности и рассматривают ситуации, когда общий «дрейф» является почти равномерным. Для этого используется прием с переходом в «дрейфующую» Инерциальную Систему Отсчета (ИСО), который проще выполнить «поэтапно». Например, рассмотрим движение частицы в скрещенных магнитном и электрическом полях. Если в движении частицы, описываемом в ИСО К, связанной с наблюдателем, присутствует продольный дрейф, в первую очередь переходят в ИСО К$'$, движущуюся относительно К со скоростью продольного дрейфа (вдоль $\vec{B}$). Как мы видели, в этом случае в К$'$ магнитное поле $\vec{B}' = \vec{B}$ и электрическое поле $\vec{E}' = \vec{E} + [\vec{v}_{\parallel} \times \vec{B}] = \vec{E}$ остаются неизменными, но теперь движение частицы происходит только в плоскости, перпендикулярной $\vec{B}$. Затем можно перейти в ИСО К$''$, движущуюся относительно К$'$ со скоростью дрейфа в скрещенных полях $\vec{u} = \frac{1}{B^2} [\vec{E}' \times \vec{B}]$. Такой переход, как мы видели, «уберет» в ИСО К$''$ электрической поле: $\vec{B}'' = \vec{B}$ и $\vec{E}'' = \vec{E}' + [\vec{u} \times \vec{B}] = 0$. Так что в К$''$ мы получим задачу о движении частицы только в магнитном поле с начальной скоростью $\vec{v}'' = \vec{v}_0 - \vec{v}_{\parallel} - \vec{u}$, перпендикулярной $\vec{B}$. Ее решение – просто ларморовское вращение. Пример 2: В некоторой области пространства создано однородное магнитное поле с индукцией $B = 0,1$ Тл, линии индукции которого горизонтальны, и вертикальное однородное электрическое поле с напряженностью $E = 2$ кВ/м. В эту область влетает протон (удельный заряд которого равен $\frac{e}{m_p} \approx 9,65 \times 10^7$ Кл/кг) со скоростью $v_0 = 20$ км/с под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту, причем $\vec{v}_0$ и $\vec{B}$ лежат в одной вертикальной плоскости. Пренебрегая излучением и действием поля тяжести, исследовать движение протона в этой области. Решение: В системе отсчета К, связанной с Землей (и наблюдателем), выберем систему координат: направим ось $z$ вертикально вверх, ось $x$ – вдоль вектора индукции, а начало координат совмести с точкой старта. Движение частицы в этой системе полей, как следует из общей теории, можно представить как комбинацию продольного дрейфа (вдоль оси $x$), дрейфа в скрещенных полях (вдоль оси $y$) и ларморовского вращения. Для выделения «чистого» вращения устраним дрейфовые движения переходом в новую систему отсчета. Сначала перейдем в СО К$'$, движущуюся относительно исходной со скоростью $\vec{v}_{\parallel} = v_0 \cos(\alpha) \vec{e}_x = \frac{v_0}{2} \vec{e}_x$ (и теперь начальная скорость протона $\vec{v}'_0 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_0 \vec{e}_z$). Затем перейдем в СО К$''$, движущуюся о скоростью дрейфа в скрещенных полях $\vec{u} = \frac{1}{B^2} [\vec{E} \times \vec{B}] = \frac{E}{B} \vec{e}_y = v_0 \vec{e}_y$. Здесь мы воспользовались тем, что численной значение $\frac{E}{B}$ в точности совпадает с величиной $v_0 = 20$ км/с. Значит, общая скорость движения К$''$ относительно К равна $\vec{u}_{\Sigma} = \frac{v_0}{2} \vec{e}_x + v_0 \vec{e}_y$. В этой системе отсчета протон движется только под действием однородного магнитного поля в плоскости $(y''z'')$, а его начальная скорость $\vec{v}'' = \vec{v}_0 - \vec{u}'' = -v_0 \vec{e}_y'' + \frac{\sqrt{3}}{2} v_0 \vec{e}_z''$. Ее модуль равен $v'' = \frac{\sqrt{7}}{2} v_0$. Таким образом, протон в К$''$ движется по окружности радиуса $R = \frac{m_p v_0''}{eB} = \frac{\sqrt{7} m_p v_0}{2 e B} \approx 2,7$ мм с угловой скоростью $\omega = \frac{eB}{m} \approx 9,65 \times 10^6$ с$^{-1}$. Направлена начальная скорость против оси $y''$ под углом $\beta = \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}/2}{1} \approx 40,9^\circ$ к ней (см. рисунок), и положение окружности показано на рисунке. Общее движение состоит из «полного дрейфа» со скоростью $\vec{u}'' = \frac{v_0}{2} \vec{e}_x + v_0 \vec{e}_y$ и этого вращения: если представить себе цилиндрическую трубу радиуса $R$, ось которой – это ли...