Измерения в микромире и квантовое поведение

Часть 2: Примеры квантового поведения. Видео

Часть 2: Примеры квантового поведения

Рассмотрим в качестве первого примера ситуацию, когда точечная частица скользит в однородном поле тяжести по гладкой поверхности в виде «горки».

Поведение классической частицы в такой ситуации очевидно: если начальная скорость будет достаточно велика, то она преодолеет горку и попадет на другую ее сторону, если нет - дойдет до некоторой точки, в которой кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную (при этом скорость обратится в ноль), а затем начнет скользить в обратном направлении.

Для квантовой частицы все не так просто. Допустим, что ее энергия недостаточна для преодоления горки. Тогда по мере приближения частицы к точке остановки ее импульс стремится к нулю, а соответствующая длина волны (вместе с неопределенностью координаты) - неограниченно растет. Поэтому в некоторый момент неопределенность координаты становится больше ширины горки, и частица может обнаружиться уже за горкой, откуда она начнет скатывание по противоположному склону. Такой процесс называют туннельным переходом, и способность квантовых частиц совершать такие переходы подтверждена экспериментально. Более того - в современной электронике немало устройств, которые работают именно благодаря тому, что электроны в них совершают туннельные переходы.

Второй пример - поведение частицы в «яме». Классическая частица будет совершать колебания вокруг положения равновесия (низшей точки ямы). Если есть внешнее влияние, забирающее энергию частицы (например, трение), то частица постепенно остановится именно в нижней точке ямы, и энергия частицы достигнет минимального значения, равного нулю (если высота в выражении для потенциальной энергии отсчитывается от нижней точки). Но квантовая частица не может вести себя так, ибо после остановки у нее одновременно зафиксировались бы абсолютно точно и координата, и импульс. Поэтому квантовая частица, отдавая энергию, достигнет некоторого состояния «нулевых колебаний», в которых неопределенности координаты и импульса достигают минимального возможного (но не нулевого!) значения

\Delta x \cdot \Delta p_{x} \approx \frac{\hbar}{2},

а затем энергия перестанет убывать!

Рассмотрим конкретный пример потенциальной ямы - потенциал U(x)=\frac{kx^{2}}{2} . В классической механике частица массы m в такой яме совершает гармонические колебания с циклической частотой \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} , поэтому запишем потенциальную энергию в виде U(x)=\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2} . Воспользуемся соотношением неопределенностей, чтобы оценить энергию «нулевых колебаний» (то есть - в терминах квантовой физики - энергию основного состояния) для такой частицы. Энергия осциллятора есть сумма кинетической и потенциальной энергий:

E=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{k x^{2}}{2}=\frac{p_{x}^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2} .

Ясно, что минимум этой функции равен нулю и соответствует x=0 и p_{x}=0 . Но, как мы видели, минимальная энергия не равна нулю - квантовый осциллятор нельзя «полностью остановить». Пусть х - характерное отклонение от положения равновесия при «нулевых» колебаниях. Тогда p \approx \frac{\hbar}{2 x} , и e(x) \approx \frac{\hbar^{2}}{8 mx^{2}}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2} , и можно найти энергию «нулевых» колебаний как минимум этой функции (разумеется, такое рассуждение является оценочным, а не точным!). Поскольку \frac{dE}{dx}=0 \Rightarrow x_{0}=\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} , то e_{\min } \approx e\left(\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}}\right)=\frac{\hbar \omega}{2} . Любопытно, что полученный ответ на самом деле является точным.

Очень важное следствие квантования - это конечность числа состояний микрообъекта при наличии ограничений на его движение одновременно по координате и импульсу (или одновременно по времени и энергии). На самом деле мы уже видели это - именно благодаря этому эффекту Планк избежал ультрафиолетовой катастрофы при описании равновесного теплового излучения. Повторим рассуждения для произвольного микрообъекта, помещенного в промежуток между двумя непроницаемыми для него стенками, где он движется свободно в направлении, перпендикулярном стенкам (в двух других направлениях движение отсутствует). Если расстояние между стенками равно L, то, поскольку на них должны находиться «узлы» стоячей волны вероятности, допустимые длины волн описываются выражением \lambda_{n}=\frac{2 L}{n} , где n- натуральные числа. Если ограничить модуль проекции импульса частицы на направление движения, потребовав, чтобы \mid p_{x} \leqslant p_{\max } , то мы ограничим и число допустимых мод волн вероятностей, а это и есть в квантовой физике число квантовых состояний частицы, удовлетворяющих введенным ограничениям:

\left\lvert\, p_{x} \leq p_{\max } \Rightarrow \frac{h}{\lambda_{n}} \leq p_{\max } \Rightarrow n \leq \frac{2 L p_{\max }}{h} \Rightarrow n_{\max }=\left[\frac{2 L p_{\max }}{h}\right] \equiv n_{x}=\left[\frac{LP}{h}\right]\right. .

Здесь введено обозначение p \equiv 2 p_{\max } для размера интервала значений проекции импульса (от -p_{\max } до +p_{\max } ). Если мы имеем дело с «почти классической» частицей, у которой LP \gg h , то округление до целого мало влияет на результат, и n_{x} \approx \frac{LP}{h} . Здесь мы заново переоткрыли для себя изначальный смысл постоянной Планка, введенной именно для ограничения числа мод теплового излучения. В теоретической физике пространство, координаты в котором объединяют собственно координаты и соответствующие им проекции импульса, называют фазовым пространством. Конечно, это нешкольный термин, но он позволяет нам сформулировать замечательное утверждение: постоянная Планка задает размер «фазовой клетки», в которую помещается одно квантовое состояние частицы при одномерном движении. Ясно, что для трехмерного движения

N=N_{x} \cdot N_{y} \cdot N_{z}=\left[\frac{L_{x} P_{x}}{h} \frac{L_{y} P_{y}}{h} \frac{L_{z} P_{z}}{h}\right]=\left[\frac{V \cdot \Omega}{h^{3}}\right] ,

где символом \Omega обозначен «допустимый для частицы импульсный объем». Для частицы с «почти классическим» поведением число состояний трехмерного движения n \approx \frac{v \cdot \Omega}{h^{3}} .