Элементы цепи. Правила Кирхгофа. Симметрия

Правила Кирхгофа

Основным инструментом в разговоре про постоянный ток для нас будут правила Кирхгофа, являющиеся обобщением довольно большого числа фактов, в числе которых закон сохранения заряда и закон Ома. Сформулируем этот краеугольный камень нашего курса:

I. Сумма токов, втекающих в некоторый узел, равна сумме токов из него вытекающих.

II. Для любого замкнутого контура электрической цепи верно следующее: сумма падений напряжения на элементах цепи равно сумме ЭДС цепи.

Ко второму правилу необходимы некоторые пояснения. Для того, чтобы записать уравнение, соответствующее правилу, необходимо выбрать направление обхода: по или против часовой стрелки.

После этого, напряжения на всех элементах записываются слева от знака << = >> так: если направление обхода совпадает с направлением движения от большего потенциала к меньшему через элемент, тогда напряжение записывается со знаком << + >>, иначе, со знаком << - >>.

ЭДС записываются справа от знака << = >> по обратному принципу: со знаком << + >> если направление обхода совпадает с направлением от << - >> к << + >> батарейки, и наоборот.

Словесное определение довольно громоздкое, давайте разберём пример:

Условие

Идеальный амперметр в цепи, схема которой изображена на рисунке, показывает силу тока I = 9 мА. Определите сопротивление резистора R , если напряжение идеального источника U = 6 В.

8_1_1л_1 Расставим токи в схеме и пронумеруем их случайным образом. Если какой-то ток мы направили неверно, он получится отрицательным, это не приведёт ни к какой ошибке.

8_1_1л_2 Далее воспользуемся первым правилом Кирхгофа для всех доступных узлов, получим:

\begin{cases}

&I - I_5 = I_4 \\

&I - I_2 = I_3 \\

&I_2 = I_1 + I_5

\end{cases} Теперь запишем второе правило Кирхгофа для трёх доступных контуров (для четвёртого контура, как и для последнего узла уравнение записывать бессмысленно, мы получим тождество, следующее из предыдущих уравнений)

\begin{cases}

&(I - I_5)R + I_1R = 0 \\

&I_1R + (I_1 + I_5)2R - (I - I_1 - I_5)2R = 0 \\

&(I - I_5)R + (I - I_1 - I_5)2R = U

\end{cases} Упрощаем

\begin{cases}

&I - I_5 + I_1 = 0 \\

&5I_1 + 4I_5 - 2I = 0 \\

&3I - 3I_5 - 2I_1 = U/R

\end{cases} То есть

\begin{cases}

&I + I_1 = I_5 \\

&9I_1 + 2I = 0 \\

&- 5I_1 = U/R

\end{cases} Откуда

R = - \frac{U}{5I_1} = \frac{9U}{10I} = 600 \ Ом. Решение задачи с помощью правил Кирхгофа зачастую не является наиболее простым путём решения задач на цепи постоянного тока, однако, правила Кирхгофа решают почти все задачи на эту тему. Это сложный, но универсальный инструмент. Далее расскажем, как упростить его использование.