Разное

Задача 1

Условие

При коротком замыкании клемм источника тока сила тока в цепи равна 12 A. При подключении к клеммам электрической лампы электрическим сопротивлением 5 Ом сила тока в цепи равна 2 A. По результатам этих экспериментов определите ЭДС источника тока.

Решение

По закону Ома для полной цепи

I=\frac{\varepsilon}{R+r}. При коротком замыкании выводов источника тока R=0 . Тогда ток короткого замыкания равен

I_0=\frac{\varepsilon}{r}. Откуда найдем внутреннее сопротивление источника тока:

r=\frac{\varepsilon}{I_0}. При подключении к выводам источника электрической лампы электрическим сопротивлением R сила тока в цепи равна:

I=\frac{\varepsilon}{R+r}=\displaystyle \frac{\varepsilon}{R+\frac{\varepsilon}{I_0}} . Отсюда получаем:

\varepsilon = \frac{I_0 \cdot I \cdot R}{I_0-I} = \frac{12 \ A \cdot 2 \ A \cdot 5 \ Ом}{12 \ A-2 \ A} = 12 \ B . Ответ \varepsilon = 12 В.

Задача 2

Условие

Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. ЭДС источника \varepsilon = 6 \ B , его внутреннее сопротивление r=2 Ом. Сопротивление реостата можно изменять в пределах от 1 Ом до 5 Ом. Чему равна максимальная мощность тока, выделяемая на реостате?

Решение

Определим напряжение на нагрузке. По закону Ома для полной цепи, ток через реостат равен

I=\frac{\varepsilon}{r+R}, по закону Ома для участка цепи

I=\frac{U}{R}. Следовательно, напряжение на реостате равно

U=I R=\varepsilon-I r. Мощность, выделяемая в цепи, тогда находится по формуле:

P=I U=I(\varepsilon-I r). Корни квадратного уравнения:

I(\varepsilon - Ir) = 0: \ I_1=0, \ I_2=\frac{\varepsilon}{r}. Поэтому максимум функции P(I) достигается при

I=\frac{\varepsilon}{2 r}, (для этого сопротивление реостата должно равняться r , что лежит в пределах его возможных значений) и равен

P_{\max}=\frac{\varepsilon^2}{4 r}=\frac{6^2}{4 \cdot 2} Вт = 4.5 \ Вт. Ответ P_{\max}= 4.5 \ Вт.

Задача 3

Условие

Цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из источника постоянного напряжения с нулевым внутренним сопротивлением, идеального амперметра, резистора с постоянным сопротивлением R_3 и двух реостатов, сопротивления R_1 и R_2 которых можно изменять. Сопротивления реостатов меняют так, что сумма R_1+R_2 все время остается неизменной ( R_1+R_2= const ). При этом сила тока I , текущего через идеальный амперметр A , изменяется. При каком отношении R_2/R_1 сила тока I будет минимальной?

2.08_1

Решение

Обозначим силу тока, текущего через источник и реостат R_1 через i , а через резистор R_3 - через I_R . Тогда из закона сохранения электрического заряда при постоянном токе следует, что i=I_R+I .

Поскольку реостат R_2 и резистор R_3 соединены параллельно, а амперметр идеальный, то текущие через них токи обратно пропорциональны их сопротивлениям:

\frac{I_R}{I}=\frac{R_2}{R_3} (закон Ома для участка цепи).

По закону Ома для полной цепи

i=\frac{\varepsilon}{R+r}, где R - общее сопротивление внешнего участка цепи, а внутреннее сопротивление источника тока r=0 .

Общее внешнее сопротивления по законам последовательного и параллельного соединенных резисторов равно

R=R_1+\frac{R_2 R_3}{R_2+R_3}. Тогда получаем:

i=\frac{\varepsilon}{\displaystyle R_1+\frac{R_2 R_3}{R_2+R_3}} . Из записанных уравнений получаем:

\begin{gathered}

I_R=\frac{R_2}{R_3} I; \\

i=I_R+I=I\left(1+\frac{R_2}{R_3}\right)=\frac{\varepsilon}{\displaystyle R_1+\frac{R_2 R_3}{R_2+R_3}} .

\end{gathered} Отсюда с учетом условия, что R_1+R_2=R= const , имеем:

I=\frac{\varepsilon R_3}{R_1\left(R_2+R_3\right)+R_2 R_3}=\frac{\varepsilon R_3}{\left(R_1+R_2\right) R_3+R_1 R_2}=\frac{\varepsilon R_3}{R R_3+R_1\left(R-R_1\right)} . Выясним, при каких значениях R_1 и R_2 сила тока будет минимальной. Это будет наблюдаться, когда знаменатель дроби будет иметь максимальное значение. В знаменателе находится некая функция

f\left(R_1\right)=R R_3+R_1 R-R_1^2. Для нахождения максимума функции найдем производную от R_1: f^{\prime}=R-2 R_1=0 , откуда с учетом равенства R=R_1+R_2 получаем, что функция достигает максимума при R_1=R_2 .

Таким образом, искомое отношение при минимальной силе тока I равно \frac{R_2}{R_1}=1.

Ответ \frac{R_2}{R_1}=1.