Электроёмкость. Энергия электрического поля

4. Движение заряженной частицы в конденсаторе

Движение заряженной частицы или заряженного тела в однородном электростатическом поле подобно движению тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, потому что и в том, и в другом случае частица или тело движется под действием постоянной силы.

Если начальная скорость заряженной частицы или заряженного тела направлена под углом к линиям напряжённости поля, то траекторией движения будет парабола. Если же начальная скорость частицы или тела равна нулю либо направлена вдоль линий напряжённости, то траекторией движения будет прямая.

При рассмотрении движения заряженных частии в конденсаторе обычно можно пренебречь действующей на частицу силой тяжести по сравнению с силой, действующей на частицу со стороны электрического поля. Однако массой частиць пренебрегать нельзя, потому что, согласно второму закону

Ньютона, ускорение частицы зависит не только от действующей на неё силы, но и от её массы. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 6

Условие

Частица с зарядом q и массой m влетает в заряженный плоский конденсатор в точке, находящейся посередине между обкладками (рис. 3). Начальная скорость частицы равна по модулю v_{0} и параллельна обкладкам. Расстояние между обкладками равно d , а напряжение между ними равно U . Длина каждой обкладки равна l .

Решение

Запишем выражения для проекций ускорения частицы на показанные оси координат:

a_{x}=0 ; \quad a_{y}=\frac{F}{m}=\frac{q E}{m}=\frac{q U}{m d}.

Запишем выражения для проекций скорости частицы на те же оси координат:

v_{x}=v_{0} ; \quad v_{y}=a t=\frac{q U t}{m d}.

Запишем выражения для зависимости координат частицы от времени:

x=v_{0} t ; \quad y=\frac{a t^{2}}{2}=\frac{q U t^{2}}{2 m d}.

Выясним при какой начальной скорости частица пролетит сквозь конденсатор, то есть не попадёт на обкладку. По оси x она проходит при этом путь, равный длине каждой обкладки равна l , а по оси y - расстояние, равное половине расстояния между обкладками конденсатора, т.е. d / 2 . Тогда

\frac{d}{2}=\frac{q U t^{2}}{2 m d} \quad \Rightarrow \quad t=\sqrt{\frac{m d^{2}}{q U}}.

Начальная скорость, при которой частица пролетит сквозь конденсатор, то есть не попадёт на обкладку:

v_{0}=\frac{l}{t}=\frac{l}{d} \sqrt{\frac{q U}{m}}.

Запишем также выражение для тангенса угла между скоростью частицы и горизонталью в момент, когда частица вылетает из конденсатора

\operatorname{tg} \alpha=\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{a t}{v_{0}}=\frac{q U l}{m d v_{0}^{2}}.

Запишем выражение для модуля скорости частицы v в момент, когда она вылетает из конденсатора. Для этого можно воспользоваться, например, теоремой Пифагора. Получим:

v=\sqrt{v_{0}^{2}}+\left(\frac{q U l}{m d v_{0}}\right)^{2}.

Пример 7

Условие

Точно посередине между вертикальными обкладками конденсатора в начальный момент удерживают в покое шарик с зарядом q и массой m (рис. 4). Напряжение между обкладками U , а расстояние между ними d . Шарик отпускают, и через некоторый промежуток времени он сталкивается с одной из об кладок.

Решение

Шарик до столкновения с обкладкой движется под действием двух сил: силы тяжести и электрической силы, направленной горизонтально вправо (т.к. q>0 ). Значит равнодействующая этих сил направлена по диагонали в правый

нижний угол. Туда же направлено и ускорение шарика. Значит, траекторией движения шарика будет прямая.

Запишем выражение для проекции ускорения шарика на показанную на рисунке ось x :

a_{x}=\frac{F_{\text{эл}}}{m}=\frac{q E}{m}=\frac{q U}{m d}.

В проекции ни ось y ускорение шарика равно a_{y}=g . Тогда модуль ускорения шарика по теореме Пифагора

v=\sqrt{g^{2}+\left(\frac{q U}{m d}\right)^{2}}.

Расстояние

\frac{d}{2}=\frac{a_{x} t^{2}}{2}.

До соприкосновения с пластиной шарик движется время

t=\frac{d}{a_{x}}=d \sqrt{\frac{m}{q U}}.