Координаты вектора: Часть 5

Задача 2.15

Условие

Известно, что в треугольнике ABC отрезок MN — средняя линия, причём M лежит на стороне AB , а N — на стороне BC . Известны координаты трёх точек: A( - 1;3) , M(3;4) и N(4;2) . Требуется найти координаты точек B и C , а также проверить, принадлежит ли точка E(0;1) стороне AC .

Решение

Для начала найдём координаты точки B . Поскольку MN — средняя линия треугольника, точка M является серединой стороны AB , а точка N — серединой стороны BC . Следовательно, вектор \overrightarrow{AM} равен половине вектора \overrightarrow{AB} , или, наоборот, \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM} .

Координаты вектора \overrightarrow{AM} равны

\overrightarrow{AM} = \left\{ 3 - ( - 1);\text{ }4 - 3\} = \{ 4;1 \right\}

Тогда вектор \overrightarrow{AB} имеет координаты \left\{ 8;2 \right\} . Чтобы получить координаты конца вектора, к координатам его начала нужно прибавить координаты самого вектора. Поэтому

B = \left( - 1 + 8;\text{ }3 + 2 \right) = (7;5)

Теперь найдём координаты точки C . Это можно сделать несколькими способами. Например, воспользоваться тем, что N — середина отрезка BC . Пусть C(x;y) . Тогда координаты точки N являются полусуммой координат точек B и C :

\left\{ \begin{array}{r}

4 = \frac{7 + x}{2} \\

2 = \frac{5 + y}{2}

\end{array} \right.\

Из первого уравнения получаем x = 1 , из второго y = - 1 . Следовательно, C(1; - 1) .

Можно получить тот же результат другим способом, используя свойство средней линии треугольника. Средняя линия MN параллельна стороне AC и равна её половине. При этом векторы \overrightarrow{MN} и \overrightarrow{AC} сонаправлены, поэтому \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{MN} .

Координаты вектора \overrightarrow{MN} равны

\overrightarrow{MN} = \left\{ 4 - 3;\text{ }2 - 4\} = \{ 1; - 2 \right\}

Следовательно, \overrightarrow{AC} = \left\{ 2; - 4 \right\} . Поскольку начало вектора \overrightarrow{AC} находится в точке A( - 1;3) , получаем координаты точки C : C( - 1 + 2;\text{ }3 - 4) = C(1; - 1) .

Таким образом, обоими способами мы получили один и тот же результат: B(7;5) , C(1; - 1) .

Теперь имеется точка E(0;1) . Нужно определить, принадлежит ли она стороне AC . Если точка E лежит на стороне AC , то векторы \overrightarrow{AE} и \overrightarrow{AC} должны быть сонаправлены. При этом длина вектора \overrightarrow{AE} не должна превышать длину вектора \overrightarrow{AC} .

Найдём координаты вектора \overrightarrow{AE}

\overrightarrow{AE} = \{ 0 - ( - 1);\text{ }1 - 3\} = \{ 1; - 2\}

Координаты вектора \overrightarrow{AC} мы уже нашли

\overrightarrow{AC} = \{ 2; - 4\}

Сравним соответствующие координаты: \frac{2}{1} = 2 и \frac{- 4}{- 2} = 2 . Следовательно, \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AE} , или \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} .

Коэффициент пропорциональности положителен, значит, векторы сонаправлены. Кроме того, он меньше единицы, то есть длина \overrightarrow{AE} меньше длины \overrightarrow{AC} . Таким образом, точка E действительно принадлежит отрезку AC .

В общем случае точка E принадлежит отрезку AC , если \overrightarrow{AE} = k\overrightarrow{AC} , где 0 \leq k \leq 1 . При 0 < k < 1 точка находится внутри отрезка, а при k = 0 или k = 1 совпадает с одним из его концов.

Ответ B(7;5) ; C(1; - 1) ; E \in AC .

Задача 2.15

Условие

Даны координаты точек A(1;3) , M(4;0) и N(3; - 2) . Известно, что в треугольнике ABC отрезок MN является средней линией, причём M лежит на стороне AB , а N — на стороне BC . Требуется найти координаты точек B и C , а затем проверить, принадлежит ли точка E(0;1) стороне AC .

Решение

Сначала найдём координаты точки B . Поскольку M — середина стороны AB , имеем \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM} . Координаты вектора \overrightarrow{AM} равны

\overrightarrow{AM} = \left\{ 4 - 1;\text{ }0 - 3\} = \{ 3; - 3 \right\}

Следовательно, \overrightarrow{AB} имеет координаты \overrightarrow{AB} = \left\{ 6; - 6 \right\} . Из точки A(1;3) откладываем вектор с координатами \left\{ 6; - 6 \right\} . Получаем B(1 + 6;\text{ }3 - 6) , то есть B(7; - 3) . Теперь найдём координаты точки C . Поскольку N — середина отрезка BC , пусть C(x;y) . Тогда

\left\{ \begin{array}{r}

3 = \frac{7 + x}{2} \\

- 2 = \frac{- 3 + y}{2}

\end{array} \right.\

Из первого уравнения получаем x = - 1 , из второго y = - 1 . Следовательно, C( - 1; - 1) .

Для проверки можно использовать свойство средней линии. Координаты вектора \overrightarrow{MN} равны \left\{ 3 - 4;\text{ } - 2 - 0\} = \{ - 1; - 2 \right\} . Поскольку \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{MN} , получаем \overrightarrow{AC} = \{ - 2; - 4\} . Если из точки A(1;3) отложить этот вектор, получаем C(1 - 2;\text{ }3 - 4) = C( - 1; - 1) . Таким образом, результат совпадает. Осталось проверить, принадлежит ли точка E(0;1) стороне AC . Координаты векторов \overrightarrow{AE} и \overrightarrow{AC} равны

\overrightarrow{AE} = \left\{ 0 - 1;\text{ }1 - 3\} = \{ - 1; - 2 \right\}

\overrightarrow{AC} = \left\{ - 2; - 4 \right\}

Соответствующие координаты пропорциональны:

\frac{- 1}{- 2} = \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2}

Следовательно, \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} . Коэффициент \frac{1}{2} положителен и находится между 0 и 1 . Значит, векторы сонаправлены, а точка E находится между точками A и C . Следовательно, точка E принадлежит стороне AC .

Ответ B(7; - 3) , C( - 1; - 1) , E \in AC .