Скалярное произведение: Часть 1

Скалярное произведение векторов

Введём ещё одно очень важное понятие, связанное с векторами, — скалярное произведение.

Допустим, у нас есть два вектора \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} . Для удобства расположим их так, чтобы они имели общее начало, и пусть угол между ними равен \alpha .

Сразу обратим внимание, что угол \alpha может быть как острым, так и тупым или прямым. Он может быть равен 0^{\circ} , если векторы сонаправлены, или 180^{\circ} , если они противоположно направлены.

В этом состоит отличие от угла между прямыми: угол между прямыми обычно определяется как наименьший из углов, образующихся при их пересечении, поэтому он не превосходит 90^{\circ} . Угол между векторами может быть и тупым.

image.png По определению скалярным произведением двух векторов ( \overrightarrow{\mathbf{a}} , \overrightarrow{\mathbf{b}}\mathbf{)} называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = \mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid cos\alpha

\alpha = \angle\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = \widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}

На что здесь стоит сразу обратить внимание?

Длины векторов — неотрицательные числа. Для ненулевого вектора длина обязательно положительна. При этом косинус угла \alpha , поскольку 0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ} , может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю.

Если угол острый, то \cos\alpha > 0 . Если \alpha = 0^{\circ} , то \cos\alpha = 1 , и скалярное произведение равно просто произведению длин векторов.

Если 90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ} , то косинус отрицателен, поэтому и скалярное произведение отрицательно. В частности, при \alpha = 180^{\circ} имеем \cos\alpha = - 1 .

Если же \alpha = 90^{\circ} , то \cos\alpha = 0 . Поэтому скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Таким образом, скалярное произведение в зависимости от взаимного направления векторов может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Скалярное произведение в координатах

По определению скалярное произведение можно вычислить, зная длины векторов и угол между ними. Однако если векторы заданы координатами, существует более удобная формула.

Пусть \overrightarrow{a} = \{ x_{a};y_{a}\} , а \overrightarrow{b} = \{ x_{b};y_{b}\} . Тогда их скалярное произведение вычисляется как сумма попарных произведений соответствующих координат:

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b}

Если речь идёт о пространстве и у векторов появляется третья координата, то для \overrightarrow{a} = \{ x_{a};y_{a};z_{a}\} и \overrightarrow{b} = \{ x_{b};y_{b};z_{b}\} получаем

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} + z_{a}z_{b}

Свойства скалярного произведения

1. Переместительное свойство. Если поменять векторы местами, результат не изменится:

\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = (\overrightarrow{b},\overrightarrow{a} \right)

Это непосредственно следует из определения: длины векторов при перестановке не меняются, а угол между ними остаётся тем же.

2. Скалярный квадрат вектора. Рассмотрим скалярное произведение вектора \overrightarrow{a} самого на себя. Угол между двумя одинаковыми ненулевыми векторами равен 0^{\circ} , а \cos 0^{\circ} = 1 . Поэтому

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}) = \mid \overrightarrow{a} \mid^{2}

Эта величина всегда неотрицательна. Причём (\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}) = 0 тогда и только тогда, когда \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} .

Выражение \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{a} \right) иногда называют скалярным квадратом вектора.

3. Распределительное свойство. Если рассмотреть скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор, то

\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \right)

Фактически со скалярным произведением в этом отношении можно работать так же, как с обычным умножением: раскрывая скобки, умножать каждое слагаемое на второй множитель.

4. Умножение одного из векторов на число. Если вектор \overrightarrow{a} умножить на некоторое число k , то

\left( k\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = k(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)

Все эти свойства выполняются для произвольных векторов и при необходимости могут быть доказаны, например, с помощью координатной формулы скалярного произведения.

Условие перпендикулярности векторов

Мы уже получили, что если угол между двумя векторами равен 90^{\circ} , то их скалярное произведение равно нулю. Для двух ненулевых векторов справедливо и обратное утверждение. Таким образом,

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 0

тогда и только тогда, когда \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b} , при условии, что \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0} и \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0} .

Этим результатом удобно пользоваться при решении задач. Например, чтобы установить перпендикулярность двух прямых, можно направить вдоль них ненулевые векторы и вычислить их скалярное произведение. Если оно равно нулю, то векторы, а значит, и соответствующие прямые перпендикулярны.

Вычисление угла между векторами

Скалярное произведение также позволяет находить угол между двумя векторами.

С одной стороны, по определению (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = \mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid cos\alpha .

С другой стороны, если векторы заданы координатами, то (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} .

Приравнивая эти выражения, для ненулевых векторов получаем

\cos\alpha = \frac{x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b}}{\mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid}.

Зная значение косинуса, можно определить и сам угол между векторами.

Задача 3.1

Условие

В трапеции ABCD основания имеют длины AD = 5 и BC = 4 . Требуется найти скалярное произведение \left( \overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC} \right) .

Решение

image.png Векторы \overrightarrow{AD} и \overrightarrow{BC} сонаправлены, поэтому угол между ними равен 0^{\circ} , а его косинус равен 1 . По определению скалярного произведения

(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}) = \mid \overrightarrow{AD} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BC} \mid \cdot \cos 0^{\circ} = 5 \cdot 4 \cdot 1 = 20

Ответ 20 .

Задача 3.2

Условие

В трапеции ABCD известны длины оснований AD = 8 и BC = 3 . Требуется найти скалярное произведение векторов \overrightarrow{AD} и \overrightarrow{CB} .

Решение

image.png Вектор \overrightarrow{AD} направлен вдоль нижнего основания, а вектор \overrightarrow{CB} — вдоль верхнего основания в противоположную сторону. Следовательно, эти векторы противоположно направлены, и угол между ними равен 180^{\circ} . Поскольку \cos 180^{\circ} = - 1 , получаем

\left( \overrightarrow{AD},\overrightarrow{CB} \right) = \mid \overrightarrow{AD} \mid \cdot \mid \overrightarrow{CB} \mid \cdot \cos{180}^{\circ} = 8 \cdot 3 \cdot ( - 1) = - 24

Ответ - 24 .

Задача 3.3

Условие

Требуется вычислить скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}\{ 3; - 2\} и \overrightarrow{b}\{ - 2;4\} .

Решение

Используем формулу скалярного произведения в координатах:

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 3 \cdot ( - 2) + ( - 2) \cdot 4 = - 6 - 8 = - 14

Ответ - 14 .

Задача 3.4

Условие

Требуется вычислить скалярное произведение векторов \overrightarrow{a}\{ - 4; - 7\} и \overrightarrow{b}\{ - 5;2\} .

Решение

Перемножаем соответствующие координаты и складываем результаты:

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = ( - 4) \cdot ( - 5) + ( - 7) \cdot 2 = 20 - 14 = 6

Ответ 6 .

Задача 3.5

Условие

При каком значении x векторы \overrightarrow{a}\{ x; - 3\} и \overrightarrow{b}\{ 4;8\} будут перпендикулярны?

Решение

Оба вектора ненулевые, поэтому они перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b} \Longleftrightarrow \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 0,\ \ \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}\

Вычислим его в координатах:

\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 4x + ( - 3) \cdot 8 = 4x - 24

4x - 24 = 0

x = 6

Таким образом, при x = 6 заданные векторы будут перпендикулярны.

Ответ 6 .

Задача 3.6

Условие

Даны два вектора: \overrightarrow{a}\{ 7;5\} и \overrightarrow{b}\{ 4;y\} . Требуется найти, при каком значении y эти векторы будут перпендикулярны.

Решение

Оба вектора ненулевые, поэтому условием их перпендикулярности является равенство скалярного произведения нулю.

\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}\ \Longleftrightarrow \ \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 0\

Получаем

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 7 \cdot 4 + 5y = 28 + 5y

28 + 5y = 0

y = - \frac{28}{5} = - 5,6

Таким образом, при y = - 5,6 заданные векторы будут перпендикулярны.

Ответ - 5,6 .