Скалярное произведение: Часть 4

Задача 3.19

Условие

В параллелограмме ABCD скалярное произведение векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AD} равно 5\sqrt{3} , а угол между ними равен 30^{\circ} . Требуется найти площадь параллелограмма ABCD .

Решение

Давайте посмотрим. Имеется параллелограмм ABCD , угол между векторами \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AD} обозначим через \alpha . По условию \alpha = 30^{\circ} .

image.png Площадь параллелограмма равна произведению длин его соседних сторон на синус угла между ними. Поскольку \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} , получаем

S = AB \cdot AD \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2}AB \cdot AD

Таким образом, нам необходимо найти произведение длин сторон AB \cdot AD .

По определению скалярного произведения

\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right) = \mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AD} \mid \cdot \cos\alpha

Косинус угла 30^{\circ} равен \frac{\sqrt{3}}{2} , а по условию скалярное произведение равно 5\sqrt{3} . Следовательно,

AB \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}

Сокращаем \sqrt{3} и умножаем обе части на 2 . Получаем

AB \cdot AD = 10

Теперь подставим найденное произведение сторон в формулу площади

S = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5

Таким образом, площадь параллелограмма равна 5 .

Ответ 5 .

Задача 3.20

Условие

В параллелограмме ABCD с острым углом \alpha стороны равны 10 и 15 , а площадь параллелограмма равна 42 . Требуется найти скалярное произведение векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{DA} .

Решение

Обозначим острый угол A через \alpha . Пусть AB = 10 , а AD = 15 . Чтобы определить угол между векторами \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{DA} , перенесём вектор \overrightarrow{DA} параллельным переносом так, чтобы его начало совпало с точкой A , \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{DA} . Полученный угол между векторами обозначим через \beta , \beta = \angle\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA} \right) .

image.png Углы \alpha и \beta являются смежными, поэтому \beta = 180^{\circ} - \alpha . Так как по условию \alpha острый, угол \beta будет тупым. Следовательно, скалярное произведение \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{DA} должно быть отрицательным.

\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA} \right) = \mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{DA} \mid \cdot \cos\beta

При этом \cos\beta = - \cos\alpha , поэтому нам необходимо найти \cos\alpha .

\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA} \right) = AB \cdot AD \cdot {( - \cos}\alpha)

Используем площадь параллелограмма. Имеем

S = AB \cdot AD \cdot \sin\alpha

42 = 10 \cdot 15 \cdot \sin\alpha

\sin\alpha = \frac{42}{150} = \frac{7}{25}

Чтобы найти \cos\alpha , можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством

{\sin}^{2}\alpha + {\cos}^{2}\alpha = 1

{\cos}^{2}\alpha = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}

Поскольку по условию угол \alpha острый, его косинус положителен. Поэтому

\cos\alpha = \frac{24}{25}

Следовательно,

\cos\beta = - \frac{24}{25}

Теперь вычислим скалярное произведение

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA}) = 10 \cdot 15 \cdot \left( -\frac{24}{25} \right) = - 144

Ответ - 144 .

Задача 3.21

Условие

Даны точки A(5;4) и B(6;3) . Требуется найти скалярное произведение векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CB} , если известно, что BC = 9 , а угол \angle CBA = 135^{\circ} .

Решение

Найдем положение третьей точки C относительно A и B . Затем определим угол между векторами \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CB} . Для этого перенесём вектор \overrightarrow{AB} параллельным переносом так, чтобы его начало совпало с точкой C , \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} . Полученный угол между векторами обозначим через \alpha , \alpha = \angle\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB} \right) = \angle\left( \overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB} \right) = 135^{\circ} .

image.png Скалярное произведение \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CB} равно

\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB} \right) = \mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{CB} \mid \cdot \cos\alpha

Длина вектора \mid \overrightarrow{CB} \mid равна длине отрезка BC , то есть 9 . Найдём длину вектора \mid \overrightarrow{AB} \mid . По координатам точек A и B получаем

\mid \overrightarrow{AB} \mid = \sqrt{\left( 6 - 5)^{2} + (3 - 4)^{2} \right.\ } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}

Косинус угла {135}^{\circ} равен - \frac{1}{\sqrt{2}} . Подставляя известные значения, получим

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}) = \sqrt{2} \cdot 9 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = - 9

Ответ - 9 .

Задача 3.22

Условие

Даны точки A( - 2;1) и B(1;5) . Требуется найти скалярное произведение векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CB} , если BC = 7 , а угол \angle CBA = 120^{\circ} .

Решение

Геометрия задачи такая же, как в предыдущем примере. Угол между векторами \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CB} после параллельного переноса (аналогично предыдущей задаче) равен заданному углу \alpha = 120^{\circ} . Поэтому

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}) = \mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{CB} \mid \cdot \cos\alpha

Длина вектора \mid \overrightarrow{CB} \mid по условию равна 7 . Найдём длину вектора \mid \overrightarrow{AB} \mid :

\mid \overrightarrow{AB} \mid = \sqrt{(1 - ( - 2))^{2} + (5 - 1)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5

Косинус угла 120^{\circ} равен - \frac{1}{2} . Подставляя известные значения в скалярное произведение, получим

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}) = 5 \cdot 7 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = - \frac{35}{2} = - 17,5

Таким образом, скалярное произведение равно - 17,5 .

Ответ - 17,5 .

Задача 3.23

Условие

Требуется вычислить скалярное произведение векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , если \overrightarrow{a} = 5\overrightarrow{p} + 3\overrightarrow{q} , а \overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{p} - 4\overrightarrow{q} , где \overrightarrow{p} и \overrightarrow{q} — единичные векторы, угол между которыми равен 60^{\circ} .

Решение

По условию \mid \overrightarrow{p} \mid = \mid \overrightarrow{q} \mid = 1 , а угол между ними равен \angle\left( \overrightarrow{p},\overrightarrow{q} \right) = \alpha = 60^{\circ} .

В этой задаче удобно воспользоваться свойствами скалярного произведения — распределительным свойством и возможностью выносить числовой коэффициент из скалярного произведения. Запишем

\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = (5\overrightarrow{p} + 3\overrightarrow{q};\text{ }2\overrightarrow{p} - 4\overrightarrow{q} \right)

Раскрываем скобки так же, как при умножении многочленов, понимая каждое произведение векторов как скалярное

\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 10(\overrightarrow{p},\overrightarrow{p}) + 6(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p}) - 20(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}) - 12(\overrightarrow{q},\overrightarrow{q} \right)

Поскольку векторы \overrightarrow{p} и \overrightarrow{q} единичные, (\overrightarrow{p},\overrightarrow{p}) = \mid \overrightarrow{p} \mid^{2} = 1 и (\overrightarrow{q},\overrightarrow{q}) = \mid \overrightarrow{q} \mid^{2} = 1 . Кроме того,

(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}) = (\overrightarrow{q},\overrightarrow{p}) = \mid \overrightarrow{p} \mid \cdot \mid \overrightarrow{q} \mid \cdot \cos 60^{\circ} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Подставляем эти значения

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 10 \cdot 1 + 6 \cdot \frac{1}{2} - 20 \cdot \frac{1}{2} - 12 \cdot 1 = 10 + 3 - 10 - 12 = - 9

Ответ - 9 .

Задача 3.24

Условие

Даны векторы \overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{p} - 2\overrightarrow{q} и \overrightarrow{b} = \overrightarrow{p} + 6\overrightarrow{q} . Векторы \overrightarrow{p} и \overrightarrow{q} единичные, а угол между ними равен 120^{\circ} . Требуется найти скалярное произведение векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} .

Решение

По условию \mid \overrightarrow{p} \mid = \mid \overrightarrow{q} \mid = 1 , а угол между ними равен \angle\left( \overrightarrow{p},\overrightarrow{q} \right) = \alpha = {120}^{\circ} . Воспользуемся свойствами скалярного произведения:

\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = (3\overrightarrow{p} - 2\overrightarrow{q},\text{ }\overrightarrow{p} + 6\overrightarrow{q} \right)

Раскрывая скобки, получаем

\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 3(\overrightarrow{p},\overrightarrow{p}) - 2(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p}) + 18(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}) - 12(\overrightarrow{q},\overrightarrow{q} \right)

Поскольку векторы \overrightarrow{p} и \overrightarrow{q} единичные, (\overrightarrow{p},\overrightarrow{p}) = \mid \overrightarrow{p} \mid^{2} = 1 и (\overrightarrow{q},\overrightarrow{q}) = \mid \overrightarrow{q} \mid^{2} = 1 . Кроме того,

(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}) = (\overrightarrow{q},\overrightarrow{p}) = \mid \overrightarrow{p} \mid \cdot \mid \overrightarrow{q} \mid \cdot \cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2}

Подставляем полученные значения

\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 3 \cdot 1 - 2\left( -\frac{1}{2} \right) + 18\left( -\frac{1}{2} \right) - 12 \cdot 1 = 3 + 1 - 9 - 12 = - 17

Ответ - 17 .