Координаты вектора: Часть 1

Координаты вектора

Мы переходим к изучению следующего блока, который посвящён координатам вектора.

До этого мы описывали вектор, изображая его на рисунке и указывая его длину и направление. Теперь мы хотим получить более удобное математическое описание. Сделать это можно с помощью координат. Но сначала сформулируем важное предварительное утверждение.

Предположим, у нас есть два неколлинеарных вектора \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} . Поскольку они неколлинеарны, они обязательно ненулевые. Рассмотрим некоторый вектор \overrightarrow{c} , лежащий в той же плоскости.

image.png Любой вектор \overrightarrow{c} на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причём единственным образом.

Разложить вектор — значит представить его в виде суммы векторов с некоторыми числовыми коэффициентами. То есть вектор \overrightarrow{a} нужно умножить на некоторое число, вектор \overrightarrow{b} — на другое число, а затем сложить полученные векторы.

Посмотрим, как это делается. Расположим векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} так, чтобы они имели общее начало. Через это общее начало проведём прямые вдоль векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , а через конец вектора \overrightarrow{c} — прямые, параллельные этим прямым.

Тогда по правилу параллелограмма вектор \overrightarrow{c} можно представить в виде суммы двух векторов {\overrightarrow{a}}_{1} и {\overrightarrow{b}}_{1} : \overrightarrow{c} = {\overrightarrow{a}}_{1} + {\overrightarrow{b}}_{1} .

image.png При этом {\overrightarrow{a}}_{1} коллинеарен вектору \overrightarrow{a} , а {\overrightarrow{b}}_{1} коллинеарен вектору \overrightarrow{b} . Значит, каждый из этих векторов можно представить как результат умножения исходного вектора на некоторое число:

{\overrightarrow{a}}_{1} = k\overrightarrow{a}

{\overrightarrow{b}}_{1} = l\overrightarrow{b}

Числа k и l могут быть как положительными, так и отрицательными, а также могут быть равны нулю. Например, если \overrightarrow{c} коллинеарен одному из векторов \overrightarrow{a} или \overrightarrow{b} , коэффициент при втором векторе будет равен нулю.

Таким образом,

\overrightarrow{c} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b},

где \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} — неколлинеарные векторы, а k и l — действительные числа.

Можно строго доказать, что такие числа k и l обязательно существуют и определяются единственным образом.

Прямоугольная декартова система координат

Теперь рассмотрим ситуацию, в которой \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} — не абстрактные неколлинеарные векторы, а векторы, выбранные специальным образом.

Для начала вспомним прямоугольную декартову систему координат. Она состоит из двух осей — x и y , которые пересекаются в начале координат под прямым углом. На каждой из осей выбирается масштабный отрезок.

Напомним, как определяются координаты точки. Чтобы найти координаты некоторой точки A , нужно провести перпендикуляры к осям и определить её положение относительно начала координат. Координата x_{A} показывает положение точки по оси x , а координата y_{A} — по оси y .

Знак координаты определяется положением точки относительно начала координат. Например, если точка находится правее начала координат, её x -координата положительна, x_{A} , а если левее — отрицательна, x_{B} . Аналогично определяется знак y -координаты.

image.png Теперь рассмотрим в этой системе координат два специальных вектора.

Вектор \overrightarrow{i} направлен вдоль положительного направления оси x и имеет длину 1 . Это вектор из начала координат в точку \left( 1;0 \right) .

Вектор \overrightarrow{j} направлен вдоль положительного направления оси y и также имеет длину 1 . Это вектор из начала координат в точку \left( 0;1 \right) .

image.png Векторы \overrightarrow{i} и \overrightarrow{j} перпендикулярны и имеют единичную длину. Такие единичные векторы, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат, называются ортами.

Пара векторов \overrightarrow{i} и \overrightarrow{j} называется векторным базисом. Этот термин в дальнейшем будет встречаться нечасто, однако само понятие является очень важным.

Координаты вектора

Рассмотрим вектор \overrightarrow{OC} , который начинается в начале координат и заканчивается в точке C(x_{C};y_{C}) .

image.png Опустим из точки C перпендикуляры на оси координат. Тогда вектор \overrightarrow{OC} можно представить как сумму двух векторов: одного, направленного вдоль оси x , и второго, направленного вдоль оси y .

\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC}

Первый из них равен x_{C}\overrightarrow{i} , а второй — y_{C}\overrightarrow{j} . Следовательно,

\overrightarrow{OC} = x_{C}\overrightarrow{i} + y_{C}\overrightarrow{j}

Числа x_{C} и y_{C} называются координатами вектора. Таким образом, вектор на плоскости можно характеризовать с помощью пары чисел. Сам вектор с координатами x_{C} и y_{C} можно обозначить как \left\{ x_{C};y_{C} \right\} .

Важно различать координаты точки и координаты вектора. Координаты точки обычно записываются в круглых скобках, например C(x_{C};y_{C}) , а самостоятельную запись координат вектора можно заключать в фигурные скобки: \left\{ x_{C};y_{C} \right\} .

Посмотрим, какие координаты имеют сами базисные векторы.

Вектор \overrightarrow{i} можно представить как \overrightarrow{i} = 1\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} , поэтому его координаты равны \left\{ 1;0 \right\} . Аналогично, \overrightarrow{j} = 0\overrightarrow{i} + 1\overrightarrow{j} , поэтому координаты вектора \overrightarrow{j} равны \left\{ 0;1 \right\} .

Например, если из начала координат провести вектор в точку C(3;5) , то этот вектор можно представить как \overrightarrow{OC} = \ 3\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} . Следовательно, его координаты равны \left\{ 3;5 \right\} .

Действия с координатами векторов

Пусть вектор \overrightarrow{a} имеет координаты \left\{ x_{a};y_{a} \right\} , а вектор \overrightarrow{b} — координаты \left\{ x_{b};y_{b} \right\} .

При сложении векторов их координаты складываются независимо друг от друга. Действительно, \overrightarrow{a} = x_{a}\overrightarrow{i} + y_{a}\overrightarrow{j} , а \overrightarrow{b} = x_{b}\overrightarrow{i} + y_{b}\overrightarrow{j} . Тогда

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_{a} + x_{b})\overrightarrow{i} + (y_{a} + y_{b})\overrightarrow{j}.

Следовательно, вектор \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} имеет координаты \left\{ x_{a} + x_{b};\text{ }y_{a} + y_{b} \right\} .

Таким образом, при сложении векторов соответствующие координаты складываются: x -координата складывается с x -координатой, а y -координата — с y -координатой.

При умножении вектора на число каждая его координата также умножается на это число. Если \overrightarrow{a} = \{ x_{a};y_{a}\} , то k\overrightarrow{a} = \{ kx_{a};ky_{a}\} .

Это два важных свойства координат вектора, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

Радиус-вектор

До сих пор мы рассматривали векторы, которые начинаются из начала координат. Вектор, проведённый из начала координат в некоторую точку C , называется радиус-вектором точки C .

image.png Для радиус-вектора координаты самого вектора совпадают с координатами той точки, в которую он проведён. Например, если C(x_{C};y_{C}) , то радиус-вектор \overrightarrow{OC} имеет координаты \left\{ x_{C};y_{C} \right\} .

С понятием радиус-вектора особенно часто приходится встречаться в физике.

Однако вектор далеко не всегда начинается в начале координат. Рассмотрим теперь общий случай.

Координаты вектора по координатам его начала и конца

Пусть имеются две точки A(x_{A};y_{A}) и B(x_{B};y_{B}) . Рассмотрим вектор \overrightarrow{AB} . Его можно выразить через радиус-векторы точек A и B . По правилу треугольника \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} , следовательно, \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} .

image.png Вектор \overrightarrow{OB} имеет координаты \left\{ x_{B};y_{B} \right\} , а вектор \overrightarrow{OA} — координаты \left\{ x_{A};y_{A} \right\} . При вычитании соответствующие координаты также вычитаются.

Следовательно,

\overrightarrow{AB} = \{ x_{B} - x_{A};\text{ }y_{B} - y_{A}\}.

Мы получили очень важный результат: чтобы найти координаты вектора, нужно из соответствующих координат его конца вычесть координаты его начала.

То есть, если A(x_{A};y_{A}) — начало вектора, а B(x_{B};y_{B}) — его конец, то

x_{\overrightarrow{AB}} = x_{B} - x_{A}

y_{\overrightarrow{AB}} = y_{B} - y_{A}

Длина вектора

Теперь рассмотрим длину вектора \left| \overrightarrow{AB} \right| . Проведём через точки A и B прямые, параллельные координатным осям. В результате получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок AB .

image.png Длины его катетов равны \mid x_{B} - x_{A} \mid и \mid y_{B} - y_{A} \mid . Модули здесь необходимы, поскольку мы не знаем заранее, какая из координат больше, однако длина отрезка всегда положительна.

По теореме Пифагора получаем

\mid \overrightarrow{AB} \mid = \sqrt{\left( x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} \right.\ }

При возведении в квадрат знаки модулей можно опустить. Эту же формулу можно интерпретировать как формулу расстояния между двумя точками на плоскости — d(A;B).

AB = \sqrt{\left( x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} \right.\ } = d(A;B)

Теперь рассмотрим некоторый вектор \overrightarrow{a} = \left\{ x_{a};y_{a} \right\} . Это означает, что \overrightarrow{a} = x_{a}\overrightarrow{i} + y_{a}\overrightarrow{j} . Тогда длина вектора вычисляется непосредственно через его координаты:

\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{x_{a}^{2} + y_{a}^{2}}

Связь координат вектора и координат его начала и конца

Здесь стоит сделать несколько важных комментариев. Мы уже говорили, что неважно, из какой точки начинается вектор. Если его длина и направление сохраняются, то это один и тот же вектор. Это значит, что вектор, заданный своими координатами, остаётся одним и тем же независимо от того, из какой точки мы его откладываем. Координаты точек начала и конца при этом могут меняться, но их разность должна оставаться неизменной.

Пусть точка A имеет координаты \left( x_{A};y_{A} \right) , точка B\left( x_{B};y_{B} \right) , а вектор \overrightarrow{AB} имеет координаты \left\{ x_{a};y_{a} \right\} . Тогда всегда выполняются равенства

x_{a} = x_{B} - x_{A}

y_{a} = y_{B} - y_{A}

Вектор с теми же координатами может начинаться и заканчиваться в других точках, но соответствующие разности координат должны сохраняться.

Кроме того, если известны координаты начала вектора и координаты самого вектора, можно найти координаты его конца. Из равенства x_{a} = x_{B} - x_{A} получаем x_{B} = x_{A} + x_{a} . Аналогично, y_{B} = y_{A} + y_{a} .То есть к координатам точки начала нужно прибавить соответствующие координаты вектора, чтобы получить координаты точки конца.

Геометрический смысл координат вектора

Сделаем ещё один важный комментарий о том, что фактически представляют собой координаты вектора.

Пусть имеется вектор \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} с координатами \left\{ x_{a};y_{a} \right\} .

Координаты этого вектора можно интерпретировать как относительное смещение, которое необходимо совершить из точки A , чтобы попасть в точку B .

Вектор всегда можно представить в виде суммы двух векторов: одного, параллельного оси x , и второго, параллельного оси y . Первый равен x_{a}\overrightarrow{i} , а второй — y_{a}\overrightarrow{j} .

image.png Таким образом, x -координата вектора показывает, насколько нужно сместиться относительно исходной точки вдоль оси x , а y -координата — насколько нужно сместиться вдоль оси y . Фактически это та же самая картина, которую мы рассматривали для вектора, начинающегося в начале координат, только теперь она параллельным переносом перенесена в произвольную точку. Такая интерпретация позволяет гораздо удобнее решать различные задачи, связанные с векторами.

Обозначение координат вектора

В заключение сделаем небольшое замечание по обозначениям. Как мы договорились, координаты точки записываются в круглых скобках, например A(x;y) , а координаты вектора как самостоятельного объекта можно записывать в фигурных скобках: \left\{ x;y \right\} .

Например, запись \overrightarrow{a} = \{ x_{a};y_{a}\} означает, что вектор \overrightarrow{a} имеет координаты x_{a} и y_{a} .

Однако встречается и другая запись: \overrightarrow{a}(x_{a};y_{a}) . В этом случае круглые скобки являются частью единой конструкции и показывают, что речь идёт именно о векторе \overrightarrow{a} с координатами x_{a} и y_{a} .

Если же пара координат записана самостоятельно и рассматривается как сам вектор, используются фигурные скобки. Это небольшая тонкость обозначений, которую важно иметь в виду.

Теперь можно перейти к решению задач.