Координаты вектора: Часть 4

Задача 2.11

Условие

Даны точки A(1;2) и B(7;10) . Требуется найти координаты точки M , которая принадлежит отрезку AB и делит его в отношении AM:MB = 1:3 . В ответе нужно указать сумму координат точки M .

Решение

Пусть M(x;y) . Эта задача посвящена делению отрезка в заданном отношении. Существует общая формула для такого деления, но решить задачу можно и непосредственно с помощью векторов.

Рассмотрим векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AM} . Они сонаправлены. Поскольку AM:MB = 1:3 , весь отрезок AB состоит из четырёх равных частей, а AM составляет одну из них. Поэтому \overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} .

Найдём координаты вектора \overrightarrow{AB} :

\overrightarrow{AB} = \{ 7 - 1;\text{ }10 - 2\} = \{ 6;8\}

Следовательно, \overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\{ 6;8\} = \left\{ \frac{3}{2};2 \right\} .

С другой стороны, поскольку A(1;2) , а M(x;y) , координаты вектора \overrightarrow{AM} = \left\{ x - 1;\text{ }y - 2 \right\} . Это один и тот же вектор, поэтому

\left\{ \begin{array}{r}

x - 1 = \frac{3}{2} \\

y - 2 = 2

\end{array} \right.\

\left\{ \begin{array}{r}

x = \frac{5}{2} \\

y = 4

\end{array} \right.\ Таким образом, M\left( \frac{5}{2};4 \right) . Сумма координат равна \frac{5}{2} + 4 = \frac{13}{2} = 6,5 .

Ответ 6,5 .

Задача 2.12

Условие

Даны точки A(6;3) и B(14;9) . Требуется найти координаты точки M(x;y) , если точка B принадлежит отрезку AM , причём AB:BM = 2:1 . В ответе снова нужно записать сумму координат точки M .

Решение

Точка B делит отрезок AM в отношении 2:1 . Рассмотрим векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AM} . Они сонаправлены, а их длины относятся как 2:3 . Поэтому

\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}

Найдём координаты вектора \overrightarrow{AB} :

\overrightarrow{AB} = \{ 14 - 6;\text{ }9 - 3\} = \{ 8;6\}

Вектор \overrightarrow{AM} имеет координаты \left\{ x - 6;\text{ }y - 3 \right\} . Следовательно, из равенства \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} получаем

\left\{ \begin{array}{r}

8 = \frac{2}{3}(x - 6) \\

6 = \frac{2}{3}(y - 3)

\end{array} \right.\

Из первого уравнения x - 6 = 12 , поэтому x = 18 . Из второго y - 3 = 9 , поэтому y = 12 . Таким образом, M(18;12) . Сумма координат точки M равна 18 + 12 = 30 .

Ответ 30 .

Задача 2.13

Условие

Даны точки A(2;2) , B(6;10) и C(x;0) . Требуется найти x , если известно, что CA = CB .

Решение

Выразим расстояние от точки C до точки A через координаты. По формуле расстояния между двумя точками получаем

CA = \sqrt{\left( x - 2)^{2} + (0 - 2)^{2} \right.\ } = \sqrt{\left( x - 2)^{2} + 4 \right.\ }

Теперь найдём расстояние CB :

CB = \sqrt{\left( x - 6)^{2} + (0 - 10)^{2} \right.\ } = \sqrt{\left( x - 6)^{2} + 100 \right.\ }

По условию CA = CB , поэтому

\sqrt{\left( x - 2)^{2} + 4 \right.\ } = \sqrt{\left( x - 6)^{2} + 100 \right.\ }

Обе части уравнения положительны, поэтому возведём их в квадрат:

\left( x - 2)^{2} + 4 = (x - 6)^{2} + 100 \right.\

x^{2} - 4x + 4 + 4 = x^{2} - 12x + 36 + 100

8x = 128

x = 16

Таким образом, при x = 16 расстояния CA и CB равны.

Ответ 16 .

Задача 2.14

Условие

Даны точки A(5;1) , B(13;y) и C(2;4) . Требуется найти y , если известно, что AB = CB .

Решение

Выразим длину отрезка AB через координаты его концов:

AB = \sqrt{\left( 13 - 5)^{2} + (y - 1)^{2} \right.\ } = \sqrt{64 + (y - 1)^{2}}

Аналогично,

CB = \sqrt{\left( 13 - 2)^{2} + (y - 4)^{2} \right.\ } = \sqrt{121 + (y - 4)^{2}}

По условию эти расстояния равны, поэтому

\sqrt{\left( y - 1)^{2} + 64 \right.\ } = \sqrt{\left( y - 4)^{2} + 121 \right.\ }

Возведём обе части уравнения в квадрат и раскроем скобки

y^{2} - 2y + 1 + 64 = y^{2} - 8y + 16 + 121

Квадраты y^{2} сокращаются. Переносим слагаемые с y в левую часть, а остальные — в правую

8y - 2y = 121 + 16 - 1 - 64

6y = 72

y = 12

Таким образом, при y = 12 длины отрезков AB и CB равны.

Ответ 12 .