Основы. Сложение и вычитание векторов: Часть 1

Вектора

Сегодня мы поговорим об очень важной теме, которая имеет большое значение не только в математике, но и в других науках, например в физике. Речь пойдёт о векторах.

В физике встречаются величины, которые характеризуются не только своим численным значением, но и направлением. Например, сила: как правило, важно знать не только её величину, но и то, в какую сторону она направлена. Такие величины называют векторными физическими величинами. Математическим понятием, с помощью которого описывают такие величины, является вектор. Простыми словами, вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого одна из точек является началом, а другая — концом. При этом для вектора всегда определено, какая именно точка является началом, а какая — концом.

Например, вот если из точки A мы нарисуем отрезок AB и будем считать, что A – это начало, а B – это конец, можно сказать, что задан вектор \overrightarrow{AB} .

image.png Если запись AB сама по себе означает отрезок, то для указания вектора над обозначением ставят стрелку \overrightarrow{AB} . Вместо стрелки можно нарисовать просто горизонтальную черту \overline{AB} . В обоих случаях речь идет о векторе.

Вектор характеризуется двумя параметрами:

Длиной, то есть длиной соответствующего отрезка.

Направлением. В рассматриваемом примере вектор направлен из точки A в точку B .

Часто векторы обозначаются строчными латинскими буковками, также со стрелкой сверху. Например, данный вектор можно обозначить как \overrightarrow{a} .

Если изменить направление вектора из точки B в точку A , мы получим вектор \overrightarrow{BA} . Это будет другой вектор, отличный от \overrightarrow{AB} . Их длины одинаковы, однако направления противоположным. Поскольку направление является одной из характеристик вектора, при его изменении меняется и сам вектор.

image.png Рассмотрим теперь другой пример. Проведем вектор из точки C в точку D , так, чтобы совпадали его длина и направление совпадали с длиной и направлением вектора \overrightarrow{AB} . В этом случае векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} имеют одинаковые характеристики.

image.png Рассмотрим второй вектор \overrightarrow{CD} . Если его длина совпадают с длиной вектора \overrightarrow{AB} , а направление — с направлением вектора \overrightarrow{AB} , то все основные характеристики векторов этих двух вектором совпадают. Такие векторы мы будем называть равными: \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} .

Если один из этих векторов обозначить строчной латинской буквой,например, \overrightarrow{b} , то равенство можно записать как \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} .

Нулевой вектор

Полезно ввести понятие нулевого вектора. Любую точку на плоскости или в пространстве можно рассматривать как вектор, у которого начало и конец совпадают. Такой вектор имеет нулевую длину, а его направление не определено.

Например, для точки A можно рассмотреть вектор \overrightarrow{AA} , который является нулевым вектором. Нулевой вектор обозначают как \overrightarrow{0} .

image.png Таким образом, нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают, поэтому его длина равна нулю, а направление не определено.

Коллинеарность векторов

Еще одно очень важное понятие — коллинеарность векторов.

Рассмотрим два ненулевых вектора \overrightarrow{a} и \overrightarrow{c} . Пусть они направлены в одну сторону и вдоль параллельных прямых l_{1} и l_{2} . Поскольку направления этих векторов совпадают, такие векторы называют сонаправлеными. Это обозначают следующим образом: \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{c} .

image.png Рассмотрим теперь другую ситуацию. Пусть вектор \overrightarrow{a} направлен в одну сторону, а вектор \overrightarrow{d} — в противоположную, при этом они также лежат на одной или на параллельных прямых l_{1} и l_{2} . В этом случае \overrightarrow{a} и \overrightarrow{d} — противоположно направлены и обозначаются как \overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{d} .

image.png Однако, в обеих этих ситуациях вектор \overrightarrow{a} и \overrightarrow{c} , соответственно, или вектор \overrightarrow{a} и \overrightarrow{d} направлены вдоль параллельных прямых. Векторы, которые направлены вдоль одной или параллельных прямых, называются коллинеарными. Таким образом, как сонаправленные, так и противоположно направленные векторы являются коллинеарными. Для обозначения коллинеарности используется тот же символ, что и для параллельности прямых, \overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{c} , \overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{d} .

Ещё раз обратим внимание, что в предыдущих примерах мы рассматривали ненулевые векторы. Нулевой вектор \overrightarrow{0} считается коллинеарным любому вектору, в том числе другому нулевому вектору.

Есть ещё одно важное свойство векторов, которое необходимо отметить. Пусть задан некоторый вектор \overrightarrow{a} и произвольная точка M на плоскости или в пространстве. Из точки M можно отложить вектор, равный вектору \overrightarrow{a} .

Фактически это означает, что вектор \overrightarrow{a} можно перенести так, чтобы его начало оказалось в точке M , не изменяя при этом ни его длину, ни направление. Пусть концом полученного вектора является точка N . Тогда вектор \overrightarrow{MN} имеет ту же длину и то же направление, что и \overrightarrow{a} , а значит, \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{a}. При этом такой вектор определяется единственным образом. Таким образом, из любой точки можно отложить единственный вектор, равный заданному вектору.

image.png Поскольку точку M можно выбрать произвольно, из любой точки плоскости или пространства можно отложить единственный вектор, равный заданному вектору \overrightarrow{a} . Все полученные таким образом векторы имеют одинаковые длину и направление, поэтому каждый из них можно обозначать одной и той же буквой \overrightarrow{a} .

Таким образом, в некотором смысле мы можем отождествить все векторы, имеющие одинаковую длину и одинаковое направление, даже если их начала находятся в разных точках. Все они рассматриваются как один и тот же вектор \overrightarrow{a} .

Следовательно, вектор как математический объект не имеет фиксированной точки приложения: неважно, из какой именно точки он отложен. Для определения вектора существенны только две его характеристики — длина и направление.

При этом в физических задачах ситуация может быть иной. Например, если вектор описывает силу, то наряду с величиной и направлением существенной может оказаться и точка приложения силы. В таком случае точка приложения является дополнительной характеристикой конкретной физической величины.

Рассмотрим еще пример.

Пример

Предположим, у нас имеется параллелограмм ABCD . Рассмотрим вектора \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} . Они имеют одну и ту же длину, потому что это параллелограмм, и одно и то же направление. Значит, эти векторы равны, \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} . Если векторы равны, то они обязательно коллинеарны, потому что у них направления совпадают. Более того, эти векторы сонаправлены, \overrightarrow{AB} \upuparrows \overrightarrow{CD} .

image.png Если мы рассмотрим вектора \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{DA} , у этих векторов одинаковые длины, но разные направления. Мы можем сказать, что вектор \overrightarrow{BC} противоположно направлен по отношению к вектору \overrightarrow{DA} , \overrightarrow{BC} \uparrow \downarrow \overrightarrow{DA} , но при этом эти векторы коллинеарны, \overrightarrow{BC} \parallel \overrightarrow{DA} .

Длина вектора

Одной из основных характеристик вектора является его длина, то есть длина соответствующего направленного отрезка. Длину вектора принято обозначать с помощью модуля. Например, длина вектора \overrightarrow{a} обозначается \left| \overrightarrow{a} \right| , а длина вектора \overrightarrow{AB} обозначается \left| \overrightarrow{AB} \right| .

Векторы \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{DA} , рассмотренные выше, противоположно направлены, но имеют равные длины. Поэтому \left| \overrightarrow{BC} \right| = \left| \overrightarrow{DA} \right| . Аналогично, если два вектора равны, как в нашем случае \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} были равными, то их длины обязательно равны, \left| \overrightarrow{AB} \right| = \left| \overrightarrow{CD} \right| .

В рассмотренных нами ранее примерах вектор \overrightarrow{a} и вектор \overrightarrow{c} были сонаправлены, но они имели разные длины, \left| \overrightarrow{a} \right| \neq \left| \overrightarrow{c} \right| .

Важно понимать, что длины векторов никак не влияют на сонаправленность или коллинеарность, потому что это разные характеристики: для коллинеарности и сонаправленности важны направления векторов, но не их длины.

Точно так же в рассмотренные выше примерах вектора \overrightarrow{a} и \overrightarrow{d} оказались разными по длине, \left| \overrightarrow{a} \right| \neq |d| . A в примере, где рассматривались равные векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , само собой, длины их совпадают, \left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| , поскольку это является одним из обязательных условий равенства векторов.

Отдельно рассмотрим нулевой вектор. Поскольку у нулевого вектора начало и конец совпадают, длина соответствующего отрезка равна нулю. Следовательно, \left| \overrightarrow{0} \right| = 0 .

Дальше перейдем к правилам сложения и вычитания векторов.