Основы. Сложение и вычитание векторов: Часть 2

Сложение векторов

Правило треугольника

Первое, самое простое и удобное правило сложения векторов — это правило треугольника.

Пусть у нас есть два вектора: вектор \overrightarrow{a} и вектор \overrightarrow{b} .

image.png Чтобы сложить эти два вектора, мы должны расположить их на плоскости таким образом, чтобы конец первого вектора совпадал с началом второго. То есть, если мы хотим посчитать сумму \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}, то возможны три варианта:

Первый вариант. Мы перемещаем вектор \overrightarrow{b} так, чтобы его начало совпало с концом вектора \overrightarrow{a} , а вектор \overrightarrow{a} оставляем на месте.

Второй вариант. Мы перемещаем вектор \overrightarrow{a} так, чтобы его конец совпал с началом вектора \overrightarrow{b} , а вектор \overrightarrow{b} оставляем на месте.

Третий вариант. Мы перемещаем оба вектора так, чтобы в некотором месте на плоскости или в пространстве появился вектор, равный \overrightarrow{a} , и вектор, равный \overrightarrow{b} , причём начало второго должно совпадать с концом первого.

Строго говоря, необходимо проверить, что во всех этих случаях получается один и тот же результат. Рассмотрим первый вариант. Сдвинем вектор \overrightarrow{b} так, чтобы его начало совпало с концом вектора \overrightarrow{a} .

image.png По сути, мы из конца вектора \overrightarrow{a} отложили вектор, равный вектору \overrightarrow{b} , и также назвали его вектором \overrightarrow{b} . Тогда суммой векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} будет называться вектор, начало которого совпадает с началом вектора \overrightarrow{a} , а конец — с концом вектора \overrightarrow{b} , при условии, что начало \overrightarrow{b} совпадает с концом \overrightarrow{a} . Обозначим полученный вектор через \overrightarrow{c} :

\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}

Теперь рассмотрим второй вариант, когда мы перемещаем вектор \overrightarrow{a} . Пусть перемещённый вектор обозначен {\overrightarrow{a}}_{1} , а полученный в результате сложения вектор — {\overrightarrow{c}}_{1} . Вектор {\overrightarrow{a}}_{1} равен вектору \overrightarrow{a} , то есть у них совпадают длины и направления.

image.png Соответствующие прямые параллельны. Используя свойства параллельных прямых, можно показать, что углы между соответствующими векторами равны. Тогда два построенных треугольника оказываются равными по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, векторы \overrightarrow{c} и {\overrightarrow{c}}_{1} имеют одинаковые длины. Кроме того, можно доказать, что прямые, на которых они лежат, параллельны, то есть эти векторы коллинеарны. Их направления также совпадают, поэтому они сонаправлены.

Таким образом, \overrightarrow{c} и {\overrightarrow{c}}_{1} имеют одинаковую длину и одинаковое направление, а значит, являются равными векторами. Если мы рассматриваем вектор без точки приложения, то это фактически один и тот же вектор. Таким образом, неважно, какой именно из векторов мы перемещаем. Важно только их взаимное расположение.

Ещё раз сформулируем правило треугольника: векторы располагают так, чтобы конец первого вектора совпадал с началом второго. Тогда вектор, проведённый из начала первого вектора в конец второго, является их суммой.

Сумма трёх векторов. Сочетательное свойство

Рассмотрим сумму трёх векторов

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

Мы можем сначала сложить \overrightarrow{b} и \overrightarrow{c} , а затем прибавить полученный вектор к \overrightarrow{a} :

\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})

Можно сложить векторы и в другом порядке: сначала \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , а затем к их сумме прибавить \overrightarrow{c} :

(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} Расположим векторы \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} и \overrightarrow{c} последовательно.

Сначала рассмотрим сумму \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} . Затем сложим полученный вектор с \overrightarrow{a} и обозначим результат через \overrightarrow{d} .

Если же сначала сложить \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} , а затем прибавить \overrightarrow{c} , то по правилу треугольника мы получим тот же самый вектор.

image.png Таким образом,

\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}

Это свойство называется сочетательным свойством сложения векторов.

Переместительное свойство сложения

Второе важное свойство — переместительное свойство:

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}

Как и при сложении обычных чисел, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых. Например, построим сначала вектор \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} , а затем расположим векторы в обратном порядке и построим \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} .

image.png Полученная фигура является параллелограммом: противоположные стороны, соответствующие векторам \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , равны и параллельны. Следовательно, векторы \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} и \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} совпадают.

Таким образом, для сложения векторов выполняется переместительное свойство:

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}

Правило многоугольника

Правило треугольника можно обобщить на случай произвольного количества векторов.

Допустим, дана последовательность векторов \ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ \overrightarrow{e},\overrightarrow{f} .

Если мы хотим сложить несколько векторов, расположим их последовательно так, чтобы конец каждого предыдущего вектора совпадал с началом следующего.

Тогда суммой всех этих векторов будет вектор, направленный из начала первого вектора в конец последнего. Обозначим его через \overrightarrow{s} : \overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} + \overrightarrow{e} + \overrightarrow{f}

image.png Это правило называется правилом многоугольника.

Такая геометрическая интерпретация особенно полезна при понимании понятия перемещения в физике.

Предположим, что из некоторой начальной точки, например из дома, мы отправились на прогулку и в результате пришли в некоторую конечную точку. Пройденный нами путь может быть достаточно длинным и представляет собой сумму длин отдельных участков траектории.

При этом из начальной точки в конечную можно было бы попасть и другим путём, например пройти по прямой. Траектория и длина пути в этом случае были бы другими, однако конечное положение относительно исходной точки осталось бы тем же.

Вектор, проведённый из начальной точки в конечную, называется вектором перемещения, тогда как пройденный путь представляет собой сумму длин отдельных участков и зависит от траектории движения. Перемещение можно определить как сумму векторов перемещения на каждом участке пути. Так становится понятна разница между путём и перемещением.

Правило параллелограмма

Рассмотрим ещё одно правило сложения векторов — правило параллелограмма.

Пусть даны два вектора \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} . Расположим их таким образом, чтобы они имели общее начало.

Если бы мы складывали их по правилу треугольника, то могли бы параллельным переносом перенести вектор \overrightarrow{b} и отложить его из конца вектора \overrightarrow{a} . Тогда суммой \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} был бы вектор, проведённый из общего начала в конец перенесённого вектора \overrightarrow{b} .

Если соединить соответствующие вершины, мы получим параллелограмм, поскольку его противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, сумма векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} направлена вдоль диагонали этого параллелограмма. Пусть \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

image.png Тогда правило параллелограмма можно сформулировать следующим образом:

Чтобы сложить два вектора, их располагают так, чтобы они имели общее начало, и достраивают полученную фигуру до параллелограмма. Суммой этих векторов является вектор, проведённый из их общего начала в противоположную вершину параллелограмма, то есть вдоль его диагонали.

Какое правило удобнее применять, зависит от конкретной задачи. Правило треугольника обычно несколько проще, однако в некоторых ситуациях удобно использовать и правило параллелограмма.

Вычитание векторов

Теперь рассмотрим правило вычитания векторов. Допустим, нам необходимо вычислить разность \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}. Пусть результатом является некоторый вектор \overrightarrow{d} :

\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{d}

Представим эту разность в виде суммы:

\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + ( - \overrightarrow{b})

Под вектором - \overrightarrow{b} будем понимать вектор, который имеет такую же длину, как \overrightarrow{b} , но противоположное направление.

image.png Таким образом, чтобы вычесть из вектора \overrightarrow{a} вектор \overrightarrow{b} , необходимо к \overrightarrow{a} прибавить вектор, противоположный \overrightarrow{b} . Сумму этих двух векторов можно найти по любому удобному правилу сложения. Используя переместительное свойство,

\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \left( - \overrightarrow{b} \right) = ( - \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{a}

Если из конца вектора - \overrightarrow{b} начинается вектор \overrightarrow{a} , то их сумма представляет собой вектор, направленный из начала - \overrightarrow{b} в конец \overrightarrow{a} . Это и есть вектор \overrightarrow{d} .

image.png Из этой картинки можно получить ещё одну формулировку правила вычитания: разность векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , построенных из общего начала можно построить как вектор, проведённый из конца вектора \overrightarrow{b} в конец вектора \overrightarrow{a} .

То есть, если из \overrightarrow{a} вычитаем \overrightarrow{b} , то проводим вектор из конца \overrightarrow{b} в конец \overrightarrow{a} .

Однако часто удобнее пользоваться определением через противоположный вектор и сводить вычитание к сложению.

Эту же ситуацию можно интерпретировать и иначе. Если \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{d}, то можно перенести \overrightarrow{b} в другую часть равенства \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}. Иными словами, необходимо подобрать такой вектор \overrightarrow{d} , который, будучи прибавленным к \overrightarrow{b} , даёт \overrightarrow{a} . По правилу треугольника этот вектор снова будет направлен из конца \overrightarrow{b} в конец \overrightarrow{a} .

Сложение с нулевым вектором

Перед решением задач сделаем ещё одно небольшое замечание. Если к любому вектору прибавить нулевой вектор, то получится тот же самый вектор:

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a} Действительно, у нулевого вектора начало и конец совпадают, поэтому при его прибавлении конец результирующего вектора остаётся в той же точке. Аналогично, \overrightarrow{a} - \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a} . На этом теоретическое введение можно закончить и перейти к решению задач.