Умножение вектора на число: Часть 1

Умножение вектора на число

В предыдущей задаче у нас возникала ситуация, в которой мы к некоторому вектору \overrightarrow{a} прибавляли этот же вектор \overrightarrow{a} . Получалось \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{a} , и мы говорили о том, что можно ввести операцию умножения вектора на число. Теперь пришло время поговорить об этом более строго и аккуратно.

Рассмотрим для начала ненулевой вектор \overrightarrow{a} , расположенный на плоскости или в пространстве. У него есть некоторая длина, которую мы обозначим как \mid \overrightarrow{a} \mid , и заданное направление.

Вектор \overrightarrow{b} представляет собой результат умножения вектора \overrightarrow{a} на некоторое действительное число k\mathbb{\in R} , то есть \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} , если выполняются следующие условия:

Вектор \overrightarrow{b} коллинеарен вектору \overrightarrow{a}

Длина вектора \overrightarrow{b} в \mid k \mid раз больше длины вектора \overrightarrow{a} , то есть \mid \overrightarrow{b} \mid = \mid k \mid \cdot \mid \overrightarrow{a} \mid . Здесь используется именно модуль k , поскольку число k может быть отрицательным.

Если k > 0 , то вектор \overrightarrow{b} сонаправлен с вектором \overrightarrow{a} , а если k < 0 , то вектор \overrightarrow{b} противоположно направлен вектору \overrightarrow{a} .

Другими словами, при умножении вектора на число мы растягиваем или сжимаем его в некоторое количество раз: изменяем его длину в \mid k \mid раз, сохраняя направление, если k положительно, или меняя направление на противоположное, если k отрицательно.

Если k = 0 , результатом является нулевой вектор, и \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0} .

Можно рассуждать и в обратную сторону. Если имеются два коллинеарных вектора \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , причём \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0} , то существует такое число k , что \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} , причём такое число k единственно.

Мы можем выразить это число k , исходя из определения умножения вектора на число. Если вектор \overrightarrow{b} сонаправлен с вектором \overrightarrow{a} , то k > 0 и \mid \overrightarrow{b} \mid = \mid k \mid \cdot \mid \overrightarrow{a} \mid . Поскольку k > 0 , имеем \mid k \mid = k , поэтому

k = \frac{\mid \overrightarrow{b} \mid}{\mid \overrightarrow{a} \mid}

На длину вектора \overrightarrow{a} можно делить, поскольку мы потребовали, чтобы \overrightarrow{a} был ненулевым.

Во втором случае, если \overrightarrow{b} и \overrightarrow{a} противоположно направлены, отличие будет исключительно в знаке коэффициента k . В этом случае k < 0 , поэтому \mid k \mid = - k , и получаем k = - \frac{\mid \overrightarrow{b} \mid}{\mid \overrightarrow{a} \mid}

Свойства умножения вектора на число

При умножении вектора на число можно последовательно умножать его на несколько чисел, а также умножать число на сумму или разность векторов. Для этих операций выполняются свойства, аналогичные свойствам сложения и умножения обычных чисел.

Пусть \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} — некоторые векторы, а k и l — действительные числа.

Сочетательное свойство. Если сначала умножить вектор \overrightarrow{a} на число l , а затем полученный вектор умножить на k , то результат будет таким же, как если сначала перемножить числа k и l , а затем умножить на полученное число вектор \overrightarrow{a} :

k \cdot (l \cdot \overrightarrow{a}) = (k \cdot l) \cdot \overrightarrow{a}

Распределительное свойство относительно сложения векторов. Если число k умножить на сумму векторов \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} , результат будет таким же, как если отдельно умножить каждый из этих векторов на k , а затем сложить результаты:

k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}

Распределительное свойство относительно сложения чисел. Аналогично, если сложить два числа k и l , а затем умножить результат на вектор \overrightarrow{a} , то получим тот же результат, что и при сложении векторов k\overrightarrow{a} и l\overrightarrow{a} :

(k + l) \cdot \overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}

Все эти свойства можно строго доказать. Нам сейчас будет достаточно того, что мы их сформулировали и можем при необходимости ими пользоваться.

Сложение векторов и умножение вектора на число — основные операции, которые мы можем выполнять с векторами. Они позволяют решать большое количество как практических, так и теоретических задач. В частности, с помощью векторов можно доказывать различные геометрические утверждения и теоремы, которые другим способом пришлось бы доказывать с использованием геометрических свойств. Во многих случаях векторный подход оказывается удобнее.

Рассмотрим несколько примеров задач, в которых использование векторов позволяет доказать некоторые геометрические утверждения.

Пример 1

Условие

Предположим, у нас есть произвольный треугольник \mathrm{\Delta}ABC . Точка M — середина стороны BC . Тогда AM является медианой данного треугольника. Необходимо выразить вектор \overrightarrow{AM} через векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC} .

image.png Решение

Сначала представим вектор \overrightarrow{AM} в виде \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} . Действительно, если сложить эти векторы по правилу треугольника, мы как раз получим вектор \overrightarrow{AM} .

Вектор \overrightarrow{AB} — один из тех векторов, через которые мы хотим выразить \overrightarrow{AM} , а вектор \overrightarrow{BM} необходимо выразить дополнительно. Поскольку M — середина BC , вектор \overrightarrow{BM} по длине вдвое меньше вектора \overrightarrow{BC} , а их направления совпадают. Следовательно, \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} .

Если записать это более строго, коэффициент k положителен, поскольку направления векторов совпадают, и равен отношению их длин: k = \frac{\mid \overrightarrow{BM} \mid}{\mid \overrightarrow{BC} \mid} = \frac{1}{2} . По такому принципу мы всегда можем находить коэффициент пропорциональности между коллинеарными векторами, то есть число, на которое нужно умножить один вектор, чтобы получить другой.

Выразим \overrightarrow{BC} . По правилу треугольника \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} , а значит, \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} .

Подставим полученные выражения в исходное равенство: \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})

Используя распределительное свойство, получаем \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1} {2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)

Ответ \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right) .

Таким образом, вектор, направленный из вершины треугольника к середине противоположной стороны, представляет собой полусумму векторов, направленных из той же вершины в две другие вершины треугольника.

Чуть позже эта формула позволит получить координаты середины отрезка, когда мы перейдём к координатам на плоскости и координатам векторов.

Предыдущий пример был вспомогательным. Рассмотрим теперь пример, в котором воспользуемся только что полученным результатом.

Пример 2

Условие

Пусть имеется трапеция ABCD , причём AD \parallel BC . Точки M и N — середины оснований BC и AD соответственно. Требуется доказать, что прямая MN и продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в одной точке.

image.png Решение

То есть необходимо доказать, что если продолжить боковые стороны AB и CD , то точка их пересечения O будет также лежать на прямой MN . Попробуем доказать это с помощью векторов.

1) В первую очередь рассмотрим O как точку пересечения продолжений боковых сторон AB и CD . Получаем два треугольника \bigtriangleup OBC и \bigtriangleup OAD .

Эти треугольники подобны. Действительно, основания трапеции BC и AD параллельны, поэтому соответствующие углы при секущих AB и CD равны. Можно также воспользоваться общим углом при вершине O . Таким образом, \bigtriangleup OBC \sim \bigtriangleup OAD .

2) Из подобия треугольников следует соотношение соответствующих сторон: \frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC} = \frac{AD}{BC} = k . Обозначим этот коэффициент через коэффициент подобия k .

Нас в первую очередь интересуют первые два соотношения: OA = k \cdot OB и OD = k \cdot OC

Теперь введём векторы \overrightarrow{OB} , \overrightarrow{OC} , \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OD} .

image.png 3) Векторы \overrightarrow{OB} и \overrightarrow{OA} сонаправлены, а их длины относятся с коэффициентом k . Следовательно, \overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB} . Аналогично, векторы \overrightarrow{OC} и \overrightarrow{OD} сонаправлены, а их длины относятся с тем же коэффициентом. Поэтому \overrightarrow{OD} = k \cdot \overrightarrow{OC} .

4) Теперь выразим векторы \overrightarrow{OM} и \overrightarrow{ON} . В предыдущем примере мы получили, что вектор вдоль медианы треугольника представляет собой полусумму векторов из той же вершины к двум другим вершинам. Поскольку M — середина BC , отрезок OM является медианой треугольника \bigtriangleup OBC . Поэтому

\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})

Аналогично, поскольку N — середина AD , отрезок ON является медианой треугольника \bigtriangleup OAD

\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD})

Но векторы \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OD} уже выражены через \overrightarrow{OB} и \overrightarrow{OC} . Подставим эти выражения:

\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}\left( k \cdot \overrightarrow{OB} + k \cdot \overrightarrow{OC} \right) = \frac{1}{2}k\left( \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right)

При этом \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OM} и \overrightarrow{ON} = k \cdot \overrightarrow{OM}

Таким образом, один из векторов \overrightarrow{ON} и \overrightarrow{OM} получается умножением другого на число k . Значит, эти векторы коллинеарны. В данной ситуации они также сонаправлены, но для доказательства нам важна именно коллинеарность.

Поскольку векторы \overrightarrow{ON} и \overrightarrow{OM} коллинеарны и имеют общее начало O , они лежат на одной прямой. Следовательно, точки O , M и N лежат на одной прямой.

Таким образом, прямая MN , проходящая через середины оснований трапеции, обязательно проходит и через точку O , в которой пересекаются продолжения боковых сторон трапеции. Что и требовалось доказать.

Пример 3

Условие

Пусть имеется трапеция ABCD , а MN — её средняя линия, то есть отрезок, соединяющий середины боковых сторон AB и CD . Требуется доказать, что длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований:

MN = \frac{AD + BC}{2}

Решение

Докажем это с помощью векторов. Рассмотрим вектор \overrightarrow{MN} , направленный вдоль средней линии трапеции. Представим этот вектор двумя различными способами.

Первый способ — пройти через верхнее основание. Тогда по правилу многоугольника \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} .

С другой стороны, тот же вектор \overrightarrow{MN} можно представить, пройдя через нижнее основание: \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} .

image.png Поскольку M — середина стороны AB , векторы \overrightarrow{MB} и \overrightarrow{MA} имеют одинаковые длины и противоположные направления. Следовательно, \overrightarrow{MB} = - \overrightarrow{MA} . Аналогично, поскольку N — середина стороны CD , векторы \overrightarrow{CN} и \overrightarrow{DN} имеют одинаковые длины и противоположные направления, поэтому \overrightarrow{CN} = - \overrightarrow{DN} .

Теперь сложим два полученных равенства для вектора \overrightarrow{MN} .

2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}

Так как \overrightarrow{MB} = - \overrightarrow{MA} и \overrightarrow{CN} = - \overrightarrow{DN} , соответствующие векторы сокращаются. Остаётся 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD},

откуда \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD} \right) .

Векторы \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{AD} сонаправлены. Действительно, основания трапеции параллельны, поэтому эти векторы коллинеарны и направлены в одну сторону. Благодаря этому при переходе к длинам векторов длина суммы \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} будет равна сумме их длин. Следовательно,

MN = \frac{BC + AD}{2}

Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы получили формулу для средней линии трапеции: длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований.

Далее рассмотрим несколько примеров решения задач.