Умножение вектора на число: Часть 2

Задача 1.9

Условие

В параллелограмме ABCD точки M и N лежат на сторонах BC и CD соответственно, причём BM:MC = 3:1 , CN:ND = 1:2 . Заданы два вектора: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} и \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} . К этой задаче есть несколько вопросов:

1) Выразить векторы \overrightarrow{BN} и \overrightarrow{MN} через \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} . 2) Доказать коллинеарность вектора \overrightarrow{MN} и некоторого вектор \overrightarrow{c} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

Решение

1) Начнём с вектора \overrightarrow{BN} . Его можно представить как сумму \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} .

image.png Но \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} , поскольку эти векторы сонаправлены и имеют одинаковую длину. Значит, \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b} .

Теперь рассмотрим \overrightarrow{CN} . Поскольку CN:ND = 1:2 , весь отрезок CD состоит из трёх одинаковых частей, а CN составляет одну из них. Поэтому \overrightarrow{CN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} .

Вектор \overrightarrow{CD} имеет такую же длину, как \overrightarrow{AB} , но противоположное направление, следовательно, \overrightarrow{CD} = - \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{a} . Значит, \overrightarrow{CN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} . Таким образом, \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} .

Теперь выразим вектор \overrightarrow{MN} . Он представляет собой сумму \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} .

image.png С вектором \overrightarrow{CN} мы уже разобрались: \overrightarrow{CN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} . Рассмотрим \overrightarrow{MC} . Точка M делит сторону BC в отношении 3:1 , поэтому MC составляет одну четвёртую от всего отрезка BC . Следовательно, \overrightarrow{MC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{b} . Тогда \overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} .

2) Во втором пункте требуется доказать, что вектор \overrightarrow{MN} и некоторый вектор \ \overrightarrow{c} коллинеарны. Векторы будут коллинеарны, если между ними существует коэффициент пропорциональности, то есть один из них можно представить как результат умножения другого на некоторое число.

Рассмотрим вектор \overrightarrow{c} и сразу вынесем коэффициент 2 за скобки: \overrightarrow{c} = 2\left( \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \right) .

Поскольку \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} , а \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} , получаем \overrightarrow{c} = 2\left( \frac{1}{4}\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}\overrightarrow{a} \right) .

Но выражение в скобках — это в точности полученное ранее выражение для вектора \overrightarrow{MN} . Следовательно, \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{MN} . Поскольку вектор \overrightarrow{c} получается умножением вектора \overrightarrow{MN} на число 2 , эти векторы коллинеарны. Что и требовалось доказать.

Ответ \overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} ; \frac{1}{4}\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} .

Задача 1.10

Условие

Условие для параллелограмма остаётся тем же. Имеется параллелограмм ABCD , точки M и N расположены так же, как в предыдущей задаче. Требуется выразить векторы \overrightarrow{DM} и \overrightarrow{NM} и доказать коллинеарность векторов \overrightarrow{NM}\ и \overrightarrow{d} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}

Решение

1) Начнём с вектора \overrightarrow{DM} . Его можно представить как \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CM} .

image.png Вектор \overrightarrow{DC} равен вектору \overrightarrow{AB} , то есть \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{a} . Вектор \overrightarrow{CM} противоположен вектору \overrightarrow{MC} . В предыдущей задаче мы получили, что \overrightarrow{MC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{b} , значит, \overrightarrow{CM} = - \frac{1}{4}\overrightarrow{b} . Таким образом, \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{a} - \frac{1}{4}\overrightarrow{b} .

Теперь рассмотрим вектор \overrightarrow{NM} . Он противоположен вектору \overrightarrow{MN} , поэтому \overrightarrow{NM} = - \overrightarrow{MN} .

\overrightarrow{NM} = - \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{a}

2) Поскольку \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} , а \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} , получаем \overrightarrow{d} = \frac{1}{4}\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} .

Но это выражение в точности совпадает с выражением для вектора \overrightarrow{MN} . Значит, \overrightarrow{d} = \overrightarrow{MN} . При этом \overrightarrow{MN} = - \overrightarrow{NM} , поэтому \overrightarrow{d} = - \overrightarrow{NM} . То есть существует число k = - 1 , такое что \overrightarrow{d} = k\overrightarrow{NM} . Следовательно, векторы \overrightarrow{d} и \overrightarrow{NM} коллинеарны.

Ответ \overrightarrow{a} - \frac{1}{4}\overrightarrow{b} ; - \frac{1}{4}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{a} .

Задача 1.11

Условие

В параллелограмме ABCD точки M , N , K и L лежат соответственно на сторонах AB , BC , CD и AD . При этом AM:MB = CK:KD = 1:3 , а BN:NC = DL:LA = 1:4 . С помощью векторов требуется доказать, что отрезки MK и NL точкой пересечения делятся пополам.

Решение

Пусть отрезки MK и NL пересекаются в точке O . То есть необходимо доказать, что O — середина как MK , так и NL .

Как удобнее всего это сделать? Такая ситуация имеет место, если четырёхугольник MNKL является параллелограммом. Поэтому попробуем с помощью векторов доказать, что MNKL — параллелограмм. Тогда MK и NL будут его диагоналями, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим вектор \overrightarrow{MN} . Его можно представить как сумму \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN} .

image.png Введём векторы вдоль сторон параллелограмма: пусть \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} , а \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} . Поскольку AM:MB = 1:3 , отрезок MB составляет три четвёртых стороны AB . Следовательно, \overrightarrow{MB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{a} .

Поскольку BN:NC = 1:4 , отрезок BN составляет одну пятую стороны BC . При этом \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} , поэтому \overrightarrow{BN} = \frac{1}{5}\overrightarrow{b} . Следовательно, \overrightarrow{MN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{5}\overrightarrow{b} .

Теперь рассмотрим вектор \overrightarrow{LK} . Его можно представить как \overrightarrow{LK} = \overrightarrow{LD} + \overrightarrow{DK} .

image.png Поскольку DL:LA = 1:4 , отрезок LD составляет одну пятую стороны AD , а направление \overrightarrow{LD} совпадает с направлением \overrightarrow{AD} . Значит, \overrightarrow{LD} = \frac{1}{5}\overrightarrow{b} .

Далее, поскольку CK:KD = 1:3 , отрезок DK составляет три четвёртых стороны DC . При этом \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} , поэтому \overrightarrow{DK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{a} . Получаем \overrightarrow{LK} = \frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{4}\overrightarrow{a} .

Таким образом, для векторов \overrightarrow{MN} и \overrightarrow{LK} получено одно и то же выражение: \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{LK} . Это означает, что данные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, прямые MN и LK параллельны, а длины отрезков MN и LK равны.

Таким образом, две противоположные стороны четырёхугольника MNKL равны и параллельны. Следовательно, MNKL — параллелограмм. MK и NL являются диагоналями параллелограмма MNKL . Значит, точка их пересечения O делит каждую из этих диагоналей пополам.

Что и требовалось доказать.