Умножение вектора на число: Часть 3

Задача 1.12

Условие

Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC , а точки M и N лежат на стороне AC , причём AM = MN = NC . Известно, что \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} и \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} . Требуется с помощью векторов доказать, что BN \parallel DM .

Решение

Проведём отрезки DM и BN . Чтобы доказать их параллельность с помощью векторов, выразим векторы \overrightarrow{DM} и \overrightarrow{BN} через заданные векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} .

image.png 1) Для начала рассмотрим вектор \overrightarrow{DM} . Его можно представить как сумму \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM} . Вектор \overrightarrow{DA} противоположен вектору \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} , поэтому \overrightarrow{DA} = - \overrightarrow{b} . При этом \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} . Следовательно, \overrightarrow{DM} = - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} .

2) Теперь рассмотрим вектор \overrightarrow{BN} . Его можно представить как \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN} .

Поскольку D — середина стороны AB , вектор \overrightarrow{BA} по длине вдвое больше вектора \overrightarrow{AD} и противоположно ему направлен. Значит, \overrightarrow{BA} = - 2\overrightarrow{b} .

Точки M и N делят сторону AC на три равные части, поэтому AN = 2AM , а векторы \overrightarrow{AN} и \overrightarrow{AM} сонаправлены. Следовательно, \overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{a} .

Таким образом, \overrightarrow{BN} = - 2\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{a} = 2( - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}) . Но \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{DM} , поэтому \overrightarrow{BN} = 2\overrightarrow{DM} . Из того, что один вектор является результатом умножения другого на число, следует, что эти векторы коллинеарны. Значит, \overrightarrow{BN} \parallel \overrightarrow{DM} . Следовательно, прямые BN и DM параллельны, BN \parallel DM. Что и требовалось доказать.

Задача 1.13

Условие

Дан параллелограмм ABCD . Точка O — точка пересечения его диагоналей. Известно, что \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{a} и \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{b} . Точка M — середина стороны AB , то есть AM = MB . Точка N лежит на стороне BC и делит её в отношении BN:NC = 2:1 . Точка K лежит на стороне AD , причём AK:KD = 1:2 . Требуется выразить векторы \overrightarrow{BK} и \overrightarrow{NM} через векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} и доказать, что точка E лежит на прямой MK .

Решение

Здесь задача немного сложнее, поскольку заданные векторы направлены не вдоль сторон параллелограмма, а вдоль его диагоналей. Поэтому сначала удобно выразить некоторые векторы вдоль сторон через \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} .

image.png 1) Начнём с вектора \overrightarrow{CD} . Если из точки O пройти в точку C , а затем из C в D , то получим вектор \overrightarrow{OD} . Следовательно, \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} . Так как \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{a} , а \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{b} , получаем \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} .

Такой же вектор представляет собой \overrightarrow{BA} , поскольку в параллелограмме \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD} . Значит, \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} .

Теперь выразим вектор \overrightarrow{AD} . Поскольку точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, диагонали делятся ею пополам. Поэтому векторы \overrightarrow{AO} и \overrightarrow{OC} равны: \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{a} . Тогда \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}

Эти два выражения нам дальше понадобятся. Теперь вернёмся к тому, что требуется выразить.

2) Вектор \overrightarrow{BK} можно представить как \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} .

Поскольку AK:KD = 1:2 , отрезок AK составляет одну треть стороны AD . Следовательно, \overrightarrow{AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} .

Подставим полученные ранее выражения и раскроем скобки: \overrightarrow{BK} = (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + \frac{1}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})=\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} . Следовательно, \overrightarrow{BK} = \frac{4}{3}\overrightarrow{b} - \frac{2}{3}\overrightarrow{a}

.

2) Теперь рассмотрим вектор \overrightarrow{NM} . Его можно представить как сумму \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{BM} .

Поскольку BN:NC = 2:1 , вектор \overrightarrow{BN} составляет две трети вектора \overrightarrow{BC} . Следовательно, противоположно направленный ему вектор \overrightarrow{NB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} . Но \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} , поэтому

\overrightarrow{NB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} = - \frac{2}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})

Точка M — середина стороны AB , поэтому \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} . А поскольку \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} , имеем \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) .

Таким образом, \overrightarrow{NM} = - \frac{2}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) .

Раскрывая скобки, получаем \overrightarrow{NM} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} .

Приведём подобные слагаемые и получим \overrightarrow{NM} = - \frac{7}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{6}\overrightarrow{b} .

3) Во второй части задачи известно, что точка E лежит на диагонали AC и делит её в отношении AE:EC = 1:4 . Требуется с помощью векторов доказать, что точка E лежит на прямой MK .

image.png Для этого рассмотрим два вектора: \overrightarrow{MK} и \overrightarrow{ME} . Если они окажутся коллинеарными, то точки M , E и K будут лежать на одной прямой.

Начнём с вектора \overrightarrow{MK} . Его можно представить как \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AK} . Поскольку M — середина AB , имеем \overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) . Кроме того, \overrightarrow{AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) . Следовательно,

\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + \frac{1}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})= \frac{5}{6}\overrightarrow{b} - \frac{1}{6}\overrightarrow{a}

Теперь выразим вектор \overrightarrow{ME} . Его можно представить как \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} . Про вектор \overrightarrow{MA} уже известно, что \overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) .

Поскольку AE:EC = 1:4 , отрезок AE составляет одну пятую диагонали AC . При этом точка O — середина диагонали AC , а \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{a} . Следовательно, \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{a} , поэтому \overrightarrow{AE} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} . Тогда

\overrightarrow{ME} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + \frac{2}{5}\overrightarrow{a}= \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{2}{5}\overrightarrow{a}= \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \frac{1}{10}\overrightarrow{a}

Осталось сравнить полученные выражения для \overrightarrow{MK} и \overrightarrow{ME} . Имеем \overrightarrow{MK} = \frac{5}{6}\overrightarrow{b} - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} . Умножим этот вектор на \frac{3}{5} :

\frac{3}{5}\overrightarrow{MK} = \frac{3}{5}\left( \frac{5}{6}\overrightarrow{b}-\frac{1}{6}\overrightarrow{a} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \frac{1}{10}\overrightarrow{a}

Но это в точности выражение для вектора \overrightarrow{ME} . Следовательно, \overrightarrow{ME} = \frac{3}{5}\overrightarrow{MK}

Таким образом, векторы \overrightarrow{ME} и \overrightarrow{MK} коллинеарны и сонаправлены. Значит, точки M , E и K лежат на одной прямой. Следовательно, E \in MK , что и требовалось доказать.

Ответ \frac{4}{3}\overrightarrow{b} - \frac{2}{3}\overrightarrow{a};\overrightarrow{a} - \frac{1}{6}\overrightarrow{b} .