Основы. Сложение и вычитание векторов: Часть 3

Задача 1.1

Условие

Нам даны три вектора: \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} и \overrightarrow{c} . Нужно построить векторы \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b},\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c},\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}.

image.png Решение

Давайте рассмотрим их по порядку. Сначала построим вектор \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}. Проще всего сделать следующее: построить на векторах \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} параллелограмм.

Расположим векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} так, чтобы они имели общее начало, и достроим полученную фигуру до параллелограмма. При этом противоположная сторона параллелограмма будет равна и параллельна вектору \overrightarrow{b} , то есть фактически мы параллельным переносом переносим вектор \overrightarrow{b} .

Тогда сумма \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} — это то же самое, что \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}, поскольку порядок слагаемых можно менять.

По правилу параллелограмма сумма этих двух векторов — это вектор, направленный из их общего начала в противоположную вершину параллелограмма. Обозначим его через \overrightarrow{d} : \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

Теперь рассмотрим разность \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}. Для этого нужно изменить направление вектора \overrightarrow{b} и прибавить полученный вектор к вектору \overrightarrow{a} . В результате получим вектор - \overrightarrow{b} . Таким образом, \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + ( - \overrightarrow{b}).

Расположим векторы \overrightarrow{a} и - \overrightarrow{b} так, чтобы они имели общее начало. Тогда их сумму можно построить по правилу параллелограмма: это будет вектор, направленный из общего начала в противоположную вершину параллелограмма. Обозначим его через \overrightarrow{e} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.

image.png Далее необходимо построить сумму \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}. По условию задачи векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{c} коллинеарны. Более того, они имеют противоположные направления, то есть являются противоположно направленными. Поэтому при сложении вектора \overrightarrow{a} с вектором \overrightarrow{c} , направленным вдоль той же прямой, но в противоположную сторону, мы получим некоторый вектор \overrightarrow{f} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}.

image.png Осталось построить разность \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}. Вычитание вектора \overrightarrow{a} равносильно прибавлению противоположного ему вектора: \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} + ( - \overrightarrow{a}).

Сначала построим вектор - \overrightarrow{a} . Поскольку \overrightarrow{c} коллинеарен \overrightarrow{a} , вектор \overrightarrow{c} располагаем на той же прямой так, чтобы можно было применить правило треугольника. Полученный вектор обозначим через \overrightarrow{g} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}.

image.png

Задача 1.2

Условие

Нам снова даны три вектора: \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} и \overrightarrow{c} , причём вектор \overrightarrow{c} коллинеарен вектору \overrightarrow{a} и противоположно ему направлен. Необходимо построить векторы \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a},\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c},\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}.

image.png Решение

Сначала построим сумму \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}. Расположим векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} так, чтобы они имели общее начало, и достроим фигуру до параллелограмма.

Тогда сумма \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} — это вектор, который по правилу параллелограмма начинается в общем начале и направлен в противоположную вершину. Обозначим его через \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

Теперь рассмотрим \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}. Вектор, противоположный \overrightarrow{a} , обозначается - \overrightarrow{a} . Поэтому \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + ( - \overrightarrow{a}). В данном случае векторы - \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} уже можно расположить так, как требуется для применения правила треугольника: конец - \overrightarrow{a} совпадает с началом \overrightarrow{b} .

Поскольку порядок слагаемых можно менять, \overrightarrow{b} + ( - \overrightarrow{a}) = ( - \overrightarrow{a}) + \overrightarrow{b}. Суммой будет вектор, направленный из начала - \overrightarrow{a} в конец \overrightarrow{b} . Обозначим его через \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}.

image.png Далее сложим векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{c} . Поскольку они коллинеарны и противоположно направлены, располагаем их на одной прямой. Полученный вектор обозначим через \overrightarrow{f} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}.

Последнее действие — разность \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}. Для этого сначала строим вектор - \overrightarrow{a} , а затем прибавляем его к \overrightarrow{c} : \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} + ( - \overrightarrow{a}). В данном случае вектор - \overrightarrow{a} направлен в ту же сторону, что и \overrightarrow{c} , поэтому его можно отложить в продолжение вектора \overrightarrow{c} . Полученный вектор обозначим через \overrightarrow{g} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}.

image.png

Векторы в параллелограмме

Задача 1.3

Условие

В параллелограмме ABCD : \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}. Требуется выразить векторы \overrightarrow{AC} и \overrightarrow{BD} через векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} .

Решение

image.png Начнём с вектора \overrightarrow{AC} . Чтобы попасть из точки A в точку C , можно сначала пройти из точки A в точку B , а затем из точки B в точку C . Поэтому \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.

По условию \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}. Вектор \overrightarrow{BC} имеет ту же длину и то же направление, что и \overrightarrow{AD} , поскольку ABCD — параллелограмм. Следовательно, \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}. Поэтому \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

Теперь рассмотрим вектор \overrightarrow{BD} . Чтобы попасть из точки B в точку D , можно сначала пройти из точки B в точку A , а затем из точки A в точку D : \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}.

Вектор \overrightarrow{BA} противоположен вектору \overrightarrow{AB} , поэтому \overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{a}. При этом \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}. Следовательно, \overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}. Меняя порядок слагаемых, получаем \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}.

Ответ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}, \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}.

Задача 1.4

Условие

Рассмотрим ещё один параллелограмм ABCD . Известно, что \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}. Требуется выразить векторы \overrightarrow{AC} и \overrightarrow{BD} через \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} .

Решение

image.png Начнём с вектора \overrightarrow{AC} . Чтобы попасть из точки A в точку C , можно сначала пройти из точки A в точку B , а затем из точки B в точку C . Можно записать, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.

Поскольку \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a}, то \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{a}. Кроме того, \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}. Следовательно, \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}.

Теперь рассмотрим вектор \overrightarrow{BD} . Чтобы попасть из точки B в точку D , можно сначала пройти из точки B в точку C , а затем из точки C в точку D : \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}.

Вектор \overrightarrow{CD} имеет ту же длину и то же направление, что и \overrightarrow{BA} , поэтому \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{a}. Следовательно, \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}.

Ответ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}, \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

Задача 1.5

Условие

В треугольнике ABC точка M является точкой пересечения медиан. Известно, что \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b}.

Требуется выразить векторы \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{CA} через векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} .

Решение

image.png Вспомним, что медианы — это отрезки, проведённые из вершин треугольника к серединам противоположных сторон. Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1 , считая от вершины.

1) Начнём с вектора \overrightarrow{AB} . Если выйти из точки M , сначала попасть в точку A , а затем из точки A в точку B , то в результате получим вектор \overrightarrow{MB} : \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB}.

По условию \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b}. Следовательно, \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}. Отсюда \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}.

Этот же результат можно получить и непосредственно, используя правило построения разности двух векторов с общим началом: вектор \overrightarrow{AB} направлен из конца \overrightarrow{a} в конец \overrightarrow{b} .

2) Теперь выразим вектор \overrightarrow{BC} . Для этого сначала рассмотрим сумму \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}. Векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} имеют общее начало — точку M . Построим на них параллелограмм.

Пусть точка F — противоположная вершина этого параллелограмма. Тогда по правилу параллелограмма \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

image.png Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Диагональ AB пересекается с диагональю MF в своей середине. Обозначим эту точку через K .

Точка K является серединой стороны AB , а значит, CK — медиана треугольника ABC . Поскольку M — точка пересечения медиан, точки C , M и K лежат на одной прямой.

При этом MF = 2MK, поскольку K — середина диагонали MF .

С другой стороны, точка M делит медиану CK в отношении 2:1 , считая от вершины C , поэтому CM = 2MK. Следовательно, CM = MF.

Векторы \overrightarrow{CM} и \overrightarrow{MF} лежат на одной прямой, имеют одинаковое направление и одинаковую длину. Значит, они равны \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{MF}. Но \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}. Поэтому \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

Теперь рассмотрим векторы \overrightarrow{CM} и \overrightarrow{MB} . Их можно сложить по правилу треугольника \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{MB} = \ \overrightarrow{CB}. Тогда \overrightarrow{CB} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{b}.

Сумма двух одинаковых векторов \overrightarrow{b} представляет собой вектор того же направления, но вдвое большей длины. Поэтому, пока формально не введена операция умножения вектора на число, интуитивно можно записать \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}. Вектор \overrightarrow{BC} противоположен вектору \overrightarrow{CB} . Следовательно,

\overrightarrow{BC} = - (\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) = - \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} 3) Теперь найдём последний вектор — \overrightarrow{CA} . Чтобы попасть из точки C в точку A , можно пройти через точку B : \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}.

Мы уже получили \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}. Кроме того, поскольку \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}, то противоположный ему вектор \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.

Поэтому \overrightarrow{CA} = (\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}). Отсюда \overrightarrow{CA} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

Ответ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}, \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}, \overrightarrow{CA} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.