Основы. Сложение и вычитание векторов: Часть 4

Задача 1.6

Условие

В треугольнике ABC точка M — точка пересечения медиан. При этом \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{c}.

Требуется выразить векторы \overrightarrow{BA} , \overrightarrow{CB} и \overrightarrow{AC} через векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{c} .

Решение

image.png Вспомним, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, причём точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1 , считая от вершины.

3) Начнём с третьего пункта — выразим вектор \overrightarrow{AC} . Это будет удобнее всего. Вектор \overrightarrow{MC} можно представить как сумму \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}.

Действительно, из точки M сначала попадаем в точку A , а затем из точки A — в точку C . Это то же самое, что сразу пройти из точки M в точку C .

Следовательно, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MA}. Так как \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{c},\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a}, получаем \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}.

1) Теперь выразим вектор \overrightarrow{BA} . Если сложить векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{c} , то по правилу параллелограмма получится некоторый вектор \overrightarrow{MF} : \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{MF} .

Аналогично рассуждениям из предыдущей задачи можно утверждать, что вектор \overrightarrow{MF} направлен вдоль медианы, проведённой из вершины B . Действительно, AMCF — параллелограмм. Отрезки MF и AC являются его диагоналями и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей через K .

image.png Поскольку K — середина AC , точка K является основанием медианы BK . Кроме того, точки M , K и F лежат на одной прямой.

Так как точка M также лежит на медиане BK , точки B , M , K и F находятся на одной прямой. При этом MF = 2MK, поскольку K — середина диагонали MF .

С другой стороны, точка M делит медиану BK в отношении 2:1 , считая от вершины B . Поэтому BM = 2MK. Следовательно, BM = 2MK = MF.

Отрезки BM и MF лежат на одной прямой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Поэтому соответствующие векторы равны: \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MF}. Но \overrightarrow{MF} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}. Следовательно, \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}.

Теперь вектор \overrightarrow{BA} можно представить как сумму \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA}. Подставляя найденные выражения, получаем \overrightarrow{BA} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) + \overrightarrow{a}. То есть \overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}.

2) Осталось выразить вектор \overrightarrow{CB} . Сначала найдём противоположно направленный ему вектор \overrightarrow{BC} . Его можно представить как \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}.

Мы уже знаем, что \overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}, а \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}. Поэтому \overrightarrow{BC} = (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}). Получаем \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{c}.

Чтобы получить вектор \overrightarrow{CB} , нужно взять вектор, противоположный \overrightarrow{BC} : \overrightarrow{CB} = - (2\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}).

Ответ \overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}, \overrightarrow{CB} = - (2\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}), \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}.

Задача 1.7

Условие

В ромбе ABCD точка O — точка пересечения диагоналей. Сторона ромба равна 17 см. Требуется найти длину вектора \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CO}, если известно, что AC = 16\text{ см}.

Решение

Вспомним, что диагонали ромба перпендикулярны, а сам ромб является параллелограммом, у которого все стороны равны.

Обозначим искомый вектор через \overrightarrow{f} : \overrightarrow{f} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CO}.

Вектор, противоположный \overrightarrow{CB} , — это \overrightarrow{BC} . Поэтому - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}. Следовательно, \overrightarrow{f} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CO}.

Порядок слагаемых можно менять, поэтому запишем векторы в удобном порядке: \overrightarrow{f} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CO}.

Теперь можно применить правило многоугольника. Каждый следующий вектор начинается там, где заканчивается предыдущий: D \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow O. Следовательно, \overrightarrow{f} = \overrightarrow{DO}. Таким образом, необходимо найти длину отрезка DO .

image.png Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \angle DOA прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник \bigtriangleup DOA . Его гипотенуза DA = 17.

Известно, что AC = 16. Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, AO = \frac{AC}{2} = 8.

По теореме Пифагора DO = \sqrt{DA^{2} - AO^{2}} = \sqrt{17^{2} - 8^{2}}. Используя формулу разности квадратов, получаем DO = \sqrt{\left( 17 + 8)(17 - 8 \right)} = \sqrt{25 \cdot 9} = 15. Следовательно, \mid \overrightarrow{f} \mid = 15\text{ см}.

Ответ 15 см.

Задача 1.8

Условие

В ромбе ABCD точка O — точка пересечения диагоналей. Сторона ромба равна 25 см. Требуется найти длину вектора \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DO}, если известно, что BD = 48\text{ см}.

Решение

Обозначим заданный вектор через \overrightarrow{f} : \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{f}. Рассмотрим теперь заданную сумму векторов.

Вектор, противоположный \overrightarrow{AB} , — это \overrightarrow{BA} : - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}. А вектор, противоположный \overrightarrow{DA} , — это \overrightarrow{AD} : - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD}. Следовательно, \overrightarrow{f} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DO}.

Эти векторы уже расположены в нужном порядке: каждый следующий начинается там, где заканчивается предыдущий, C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow O.

По правилу многоугольника получаем \overrightarrow{f} = \overrightarrow{CO}. Таким образом, необходимо найти длину отрезка CO .

image.png Рассмотрим прямоугольный треугольник \bigtriangleup COD . Его гипотенуза CD = 25\text{ см}, а один из катетов DO = \frac{BD}{2} = 24\text{ см} , поскольку диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

По теореме Пифагора CO = \sqrt{CD^{2} - DO^{2}} = \sqrt{25^{2} - 24^{2}}. Используя формулу разности квадратов, получаем CO = \sqrt{\left( 25 + 24)(25 - 24 \right)} = \sqrt{49} = 7. Следовательно, \mid \overrightarrow{f} \mid = 7\text{ см}.

Ответ 7 см.