Координаты вектора: Часть 3

Задача 2.5

Условие

Даны два вектора: \overrightarrow{a}\{ x; - 3\} и \overrightarrow{b}\{ 15;9\} . Требуется определить, при каком значении x эти векторы коллинеарны.

Решение

Векторы будут коллинеарными в том случае, если их соответствующие координаты пропорциональны. Поэтому должно выполняться равенство

\frac{15}{x} = \frac{9}{- 3}

Получаем \frac{15}{x} = - 3 , откуда - 3x = 15 , то есть x = - 5 . Таким образом, при x = - 5 эти векторы будут коллинеарны.

Ответ -5 .

Задача 2.5

Условие

Даны два вектора: \overrightarrow{a}\{ 12; - 7\} и \overrightarrow{b}\{ x; - 14\} . Требуется определить, при каком значении x эти векторы коллинеарны.

Решение

Координаты коллинеарных векторов должны быть пропорциональны, поэтому

\frac{x}{12} = \frac{- 14}{- 7}

Получаем x = 2 \cdot 12 = 24 . Действительно, при этом обе координаты вектора \overrightarrow{b} в два раза больше соответствующих координат вектора \overrightarrow{a} . Таким образом, при x = 24 эти два вектора коллинеарны.

Ответ 24 .

Задача 2.6

Условие

Даны два вектора: \overrightarrow{a}\{ 2;3\} и \overrightarrow{b}\{ - 3;y\} . Требуется найти y , если известно, что длина вектора \overrightarrow{b} в 1,5 раза больше длины вектора \overrightarrow{a} . Если таких значений несколько, в ответе нужно указать меньшее из них.

Решение

Сначала найдём длины векторов \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} :

\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}

\mid \overrightarrow{b} \mid = \sqrt{\left( - 3)^{2} + y^{2} \right.\ } = \sqrt{9 + y^{2}}

По условию длина вектора \overrightarrow{b} в 1,5 раза больше длины вектора \overrightarrow{a} , поэтому

\sqrt{9 + y^{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{13}

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат. Получаем

9 + y^{2} = \frac{9}{4} \cdot 13

y^{2} = \frac{117}{4} - 9 = \frac{117 - 36}{4} = \frac{81}{4}

y = \pm \frac{9}{2}

Оба значения удовлетворяют условию, но требуется указать меньшее из них. Поэтому y = - \frac{9}{2} = - 4,5 .

Ответ -4,5 .

Задача 2.7

Условие

Даны два вектора: \overrightarrow{a}\{ 4; - 1\} и \overrightarrow{b}\{ x;8\} . Требуется найти значение x , если известно, что длина вектора \overrightarrow{b} равна 2,5 длинам вектора \overrightarrow{a} . Если таких значений несколько, в ответе нужно записать меньшее из них.

Решение

Сначала найдём длины векторов \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} :

\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{4^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{17}

\mid \overrightarrow{b} \mid = \sqrt{x^{2} + 8^{2}} = \sqrt{x^{2} + 64}

По условию

\sqrt{x^{2} + 64} = \frac{5}{2}\sqrt{17}

Обе части уравнения положительны, поэтому возведём их в квадрат:

x^{2} + 64 = \frac{25}{4} \cdot 17

x^{2} = \frac{425}{4} - 64 = \frac{425 - 256}{4} = \frac{169}{4}

x = \pm \frac{13}{2}

По условию необходимо выбрать меньшее значение, поэтому x = - \frac{13}{2} = - 6,5 .

Ответ -6,5 .

Задача 2.8

Условие

Даны два вектора: \overrightarrow{a}\{ - 2;4\} и \overrightarrow{b}\{ 2; - 1\} . Кроме того, имеется некоторый вектор \overrightarrow{c}\{ x;y\} , причём известно, что \overrightarrow{c} сонаправлен с вектором \overrightarrow{b} , а длина вектора \overrightarrow{c} равна длине вектора \overrightarrow{a} . Требуется найти сумму x + y .

Решение

Поскольку вектор \overrightarrow{c} сонаправлен с вектором \overrightarrow{b} , его можно представить в виде \overrightarrow{c} = k\overrightarrow{b} , где k > 0 . Следовательно, x = 2k , а y = - k . Отсюда получаем связь x = - 2y . Кроме того, известно, что длина вектора \overrightarrow{c} равна длине вектора \overrightarrow{a} .

Длина вектора \overrightarrow{a} равна

\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{\left( - 2)^{2} + 4^{2} \right.\ } = \sqrt{20},

а длина вектора \overrightarrow{c} равна

\mid \overrightarrow{c} \mid = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Поэтому

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{20}

x^{2} + y^{2} = 20

Подставим x = - 2y . Тогда

4y^{2} + y^{2} = 20

5y^{2} = 20

Следовательно, y^{2} = 4 , поэтому возможны два значения: y = 2 или y = - 2 .

Если y = 2 , то x = - 4 . В этом случае k = \frac{x}{2} = - 2 , то есть коэффициент отрицателен. Этот вариант не подходит, поскольку векторы \overrightarrow{c} и \overrightarrow{b} должны быть сонаправлены.

Если y = - 2 , то x = 4 . Тогда k = \frac{x}{2} = 2 > 0 , поэтому этот вариант удовлетворяет условию.

Следовательно, x = 4 , y = - 2 , и x + y = 4 - 2 = 2 .

Ответ 2 .

Задача 2.9

Условие

Даны два вектора: \overrightarrow{a}\{ 4; - 6\} и \overrightarrow{b}\{ - 2;3\} . Кроме того, имеется некоторый вектор \overrightarrow{c}\{ x;y\} . Известно, что векторы \overrightarrow{c} и \overrightarrow{b} противоположно направлены, а длина вектора \overrightarrow{c} равна длине вектора \overrightarrow{a} . Требуется найти сумму x + y .

Решение

Поскольку \overrightarrow{c} и \overrightarrow{b} противоположно направлены, вектор \overrightarrow{c} можно представить как \overrightarrow{c} = k\overrightarrow{b} , где k < 0 . Следовательно, x = - 2k , а y = 3k . Отсюда \frac{x}{- 2} = \frac{y}{3} = k , причём k < 0 .

Из первых двух равенств можно получить связь между x и y : y = - \frac{3}{2}x . Кроме этого, длина вектора \overrightarrow{c} равна длине вектора \overrightarrow{a} .

\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{4^{2} + ( - 6)^{2}} = \sqrt{52}

\mid \overrightarrow{c} \mid = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Следовательно, \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{52} . Возведём обе части в квадрат и подставим y = - \frac{3}{2}x . Получаем

x^{2} + \frac{9}{4}x^{2} = 52\

\frac{13}{4}x^{2} = 52

Отсюда x^{2} = 16 , поэтому x = 4 или x = - 4 .

Если x = 4 , то y = - 6 . В этом случае k = \frac{4}{- 2} = - 2 < 0 , поэтому этот вариант удовлетворяет условию.

Если x = - 4 , то y = 6 . Тогда k = \frac{- 4}{- 2} = 2 > 0 , а этот вариант нам не подходит, поскольку векторы должны быть противоположно направлены.

Следовательно, x = 4 , y = - 6 , поэтому x + y = 4 - 6 = - 2 .

Ответ -2 .

Задача 2.9

Условие

В параллелограмме ABCD известны координаты трёх его вершин: A(0;0) , B(5;0) и C(12;3) . Требуется найти координаты четвёртой вершины D . В ответ нужно записать сумму координат точки D .

Решение

Пусть точка D имеет координаты \left( x;y \right) . Чтобы найти её координаты, проще всего рассмотреть два вектора, направленных вдоль противоположных сторон параллелограмма, например \overrightarrow{BA} и \overrightarrow{CD} . Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, эти векторы равны: \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD} .

Вектор \overrightarrow{BA} имеет координаты

\overrightarrow{BA} = \left\{ 0 - 5;\text{ }0 - 0\} = \{ - 5;0 \right\}

Вектор \overrightarrow{CD} начинается в точке C и заканчивается в точке D , поэтому его координаты равны

\overrightarrow{CD} = \left\{ x - 12;\text{ }y - 3 \right\}

Поскольку векторы равны, равны и их соответствующие координаты. Получаем

\left\{ \begin{array}{r}

x - 12 = - 5 \\

y - 3 = 0

\end{array} \right.\

\left\{ \begin{array}{r}

x = 7 \\

y = 3

\end{array} \right.\

Таким образом, точка D имеет координаты D(7;3) . В ответе требуется указать сумму координат: x + y = 7 + 3 = 10 .

Ответ 10 .

Задача 2.10

Условие

В параллелограмме ABCD известны координаты трёх вершин: A(2;3) , B(5;7) и D(10;1) . Требуется найти координаты четвёртой вершины C , а в ответе указать сумму её координат.

Решение

Пусть C(x;y) . Как и в предыдущей задаче, рассмотрим векторы \overrightarrow{BA} и \overrightarrow{CD} . Они направлены вдоль противоположных сторон параллелограмма, поэтому должны быть равны.

Координаты вектора \overrightarrow{BA} равны

\overrightarrow{BA} = \left\{ 2 - 5;\text{ }3 - 7\} = \{ - 3; - 4 \right\}

Вектор \overrightarrow{CD} имеет координаты \left\{ 10 - x;\text{ }1 - y \right\} . Из равенства векторов получаем

\left\{ \begin{array}{r}

10 - x = - 3 \\

1 - y = - 4

\end{array} \right.\

\left\{ \begin{array}{r}

x = 13 \\

y = 5

\end{array} \right.\

Следовательно, C(13;5) . Сумма координат точки C равна 13 + 5 = 18 .

Ответ 18 .