Координаты вектора: Часть 2

Задача 2.1

Условие

Даны векторы \overrightarrow{a}\{ - 5;1\} , \overrightarrow{b}\{ 0; - 3\} , \overrightarrow{c}\{ 4; - 2\} . Требуется

найти координаты векторов \overrightarrow{m} = - \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} и \overrightarrow{n} = 2\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c} ;

записать разложение векторов \overrightarrow{m} и \overrightarrow{n} по координатным векторам \overrightarrow{i} и \overrightarrow{j} ;

найти длины векторов \overrightarrow{m} и \overrightarrow{n} ;

разложить вектор \overrightarrow{d}\{ - 10;5\} по векторам \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} .

Решение

Координаты векторов \overrightarrow{m} и \overrightarrow{n}

При вычислении координат вектора можно пользоваться тем, что координаты суммы или разности векторов равны сумме или разности соответствующих координат, а при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Начнём с вектора \overrightarrow{m} = - \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} . Вектор - \overrightarrow{a} имеет координаты \left\{ 5; - 1 \right\} . Вектор 2\overrightarrow{b} имеет координаты \left\{ 0; - 6 \right\} , а вектор - \overrightarrow{c} — координаты \left\{ - 4;2 \right\} . Следовательно,

\overrightarrow{m} = - \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = \left\{ 5; - 1 \right\} + \left\{ 0; - 6 \right\} + \left\{ - 4;2 \right\} = \left\{ 5 + 0 - 4; - 1 - 6 + 2 \right\} = \{ 1; - 5\}

Теперь рассмотрим вектор \overrightarrow{n} = 2\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c} . Вектор 2\overrightarrow{a} имеет координаты \left\{ - 10;2 \right\} . Вектор - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} имеет координаты \left\{ 0;1 \right\} , а 4\overrightarrow{c} — координаты \left\{ 16; - 8 \right\} . Складываем соответствующие координаты:

\overrightarrow{n} = 2\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c} = \left\{ - 10;2 \right\} + \left\{ 0;1 \right\} + \left\{ 16; - 8 \right\} = \left\{ - 10 + 0 + 16;2 + 1 - 8 \right\} = \{ 6; - 5\}

Разложение по векторам \overrightarrow{i} и \overrightarrow{j}

Напомним, что \overrightarrow{i} и \overrightarrow{j} — орты декартовой системы координат, поэтому координаты вектора являются коэффициентами его разложения по векторам \overrightarrow{i} и \overrightarrow{j} .

Так как \overrightarrow{m}\{ 1; - 5\} , получаем \overrightarrow{m} = \overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j} . Для вектора \overrightarrow{n}\{ 6; - 5\} получаем \overrightarrow{n} = 6\overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j} .

Длины векторов

Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат:

\mid \overrightarrow{m} \mid = \sqrt{1^{2} + ( - 5)^{2}} = \sqrt{26}

\mid \overrightarrow{n} \mid = \sqrt{6^{2} + ( - 5)^{2}} = \sqrt{61}

Разложение вектора \overrightarrow{d} по векторам \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}

Требуется представить вектор \overrightarrow{d}\{ - 10;5\} в виде \overrightarrow{d} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b} . Векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} не являются координатными векторами, поэтому задача немного сложнее. Запишем координаты вектора k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b} .

Так как \overrightarrow{a}\{ - 5;1\} , а \overrightarrow{b}\{ 0; - 3\} , получим

\overrightarrow{d} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b} = k \left\{ - 5;1 \right\} + l \left\{ 0; - 3 \right\} = \left\{ - 5k + 0l;k - 3l \right\}

Полученный вектор должен совпадать с \overrightarrow{d}\left\{ - 10;5 \right\} = . Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Поэтому получаем систему:

\left\{ \begin{array}{r}

- 5k = - 10, \\

k - 3l = 5.

\end{array} \right.\

Из первого уравнения k = 2 . Подставляя это значение во второе, получаем 2 - 3l = 5 , откуда l = - 1 . Следовательно, \overrightarrow{d} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} .

Проверим результат. Вектор 2\overrightarrow{a} имеет координаты \left\{ - 10;2 \right\} , а - \overrightarrow{b} — координаты \left\{ 0;3 \right\} . Их сумма равна \left\{ - 10;5 \right\} , то есть действительно совпадает с вектором \overrightarrow{d} . Таким образом, решение задачи завершено.

Ответ \overrightarrow{m} = \left\{ 1; - 5 \right\},\ \overrightarrow{n} = \{ 6; - 5\} ; \overrightarrow{m} = \overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j},\ \overrightarrow{n} = 6\overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j} ; \mid \overrightarrow{m} \mid = \sqrt{26} ; \mid \overrightarrow{n} \mid = \sqrt{61} ; \overrightarrow{d} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} .

Задача 2.2

Условие

Даны те же векторы: \overrightarrow{a}\{ - 5;1\} , \overrightarrow{b}\{ 0; - 3\} , \overrightarrow{c}\{ 4; - 2\} . Требуется

найти координаты векторов \overrightarrow{m} = \overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} и \overrightarrow{n} = - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{c} ;

записать разложение векторов \overrightarrow{m} и \overrightarrow{n} по координатным векторам \overrightarrow{i} и \overrightarrow{j} ;

найти длины векторов \overrightarrow{m} и \overrightarrow{n} ;

разложить вектор \overrightarrow{d}\{ - 5; - 7\} по векторам \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} .

Решение

Начнём с вектора \overrightarrow{m} = \overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} .

Вектор \overrightarrow{a} имеет координаты \left\{ - 5;1 \right\} . Вектор - 3\overrightarrow{b} имеет координаты \left\{ 0;9 \right\} , а 2\overrightarrow{c} — координаты \left\{ 8; - 4 \right\} . Складывая соответствующие координаты, получаем

\overrightarrow{m} = \overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left\{ - 5;1 \right\} + \left\{ 0;9 \right\} + \left\{ 8; - 4 \right\} = \{ - 5 + 0 + 8;1 + 9 - 4\} = \{ 3;6\}

Теперь рассмотрим \overrightarrow{n} = - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{c} .

Вектор - 2\overrightarrow{a} имеет координаты \left\{ 10; - 2 \right\} , вектор \overrightarrow{b} — координаты \left\{ 0; - 3 \right\} , а - \frac{1}{2}\overrightarrow{c} — координаты \left\{ - 2;1 \right\} . Получаем

\overrightarrow{n} = - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{c} = \left\{ 10; - 2 \right\} + \left\{ 0; - 3 \right\} + \left\{ - 2;1 \right\} = \{ 10 + 0 - 2; - 2 - 3 + 1\} = \{ 8; - 4\}

Поскольку координаты векторов соответствуют коэффициентам их разложения по ортам системы координат, получаем

\overrightarrow{m} = 3\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j} \overrightarrow{n} = 8\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} Длины векторов

\mid \overrightarrow{m} \mid = \sqrt{3^{2} + 6^{2}} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \mid \overrightarrow{n} \mid = \sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} Требуется разложить вектор \overrightarrow{d}\{ - 5; - 7\} по векторам \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , то есть представить его в виде \overrightarrow{d} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b} .

\overrightarrow{d}\left\{ - 5; - 7 \right\} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b} = k\left\{ - 5;1 \right\} + l\left\{ 0; - 3 \right\} = \left\{ - 5k;k - 3l \right\}

Получаем систему:

\left\{ \begin{array}{r}

- 5k = - 5 \\

k - 3l = - 7

\end{array} \right.\

Из первого уравнения k = 1 . Тогда из второго 1 - 3l = - 7 , откуда l = \frac{8}{3} . Следовательно, \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \frac{8}{3}\overrightarrow{b} .

Проверим результат. Первая координата равна - 5 + \frac{8}{3} \cdot 0 = - 5 . Вторая координата равна 1 + \frac{8}{3} \cdot ( - 3) = 1 - 8 = - 7 . Полученные координаты совпадают с координатами вектора \overrightarrow{d} . Таким образом, решение задачи завершено.

Ответ \overrightarrow{m} = \left\{ 3;6 \right\},\ \overrightarrow{n} = \{ 8; - 4\} ; \overrightarrow{m} = 3\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j},\ \overrightarrow{n} = 8\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} ; \mid \overrightarrow{m} \mid = 3\sqrt{5} ; \mid \overrightarrow{n} \mid = 4\sqrt{5} ; \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{\frac{8}{3}\overrightarrow{b}} .

Задача 2.3

Условие

Даны три точки: A(1; - 2) , B(3;6) и C(5; - 2) . Требуется

найти координаты векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CB} ;

найти координаты середины отрезка AB ;

найти длину медианы CM ;

проверить, является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом. Tочка D(7;6) .

Решение

Найти координаты векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CB}

Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.

\overrightarrow{AB} = \{ 3 - 1;\text{ }6 - ( - 2)\} = \{ 2;8\}

\overrightarrow{CB} = \{ 3 - 5;\text{ }6 - ( - 2)\} = \{ - 2;8\}

Найти координаты середины отрезка AB

Пусть точка M — середина отрезка AB . Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов, поэтому

x_{M} = \frac{1 + 3}{2} = 2

y_{M} = \frac{- 2 + 6}{2} = 2

Следовательно, M(2;2) .

Найти длину медианы CM

Рассмотрим вектор \overrightarrow{CM}

\overrightarrow{CM} = \{ 2 - 5;\text{ }2 - ( - 2)\} = \{ - 3;4\}

Длина медианы CM равна длине вектора \overrightarrow{CM} :

CM = \left| \overrightarrow{CM} \right| = \sqrt{\left( - 3)^{2} + 4^{2} \right.\ } = \sqrt{25} = 5

4) Проверить, является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом

Для этого можно воспользоваться признаком параллелограмма: если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Рассмотрим векторы, направленные вдоль каждой из двух его сторон. Мы уже нашли \overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AB} = \{ 3 - 1;6 - ( - 2)\} = \{ 2;8\}

Рассмотрим теперь вектор \overrightarrow{CD} . Его координаты равны

\overrightarrow{CD} = \{ 7 - 5;\text{ }6 - ( - 2)\} = \{ 2;8\}

Получаем, что \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} имеют одинаковые координаты, а значит, это равные векторы. Следовательно, соответствующие стороны AB и CD параллельны и имеют одинаковую длину. Таким образом, по рассматриваемому признаку получаем, что ABCD — параллелограмм.

Задача 2.4

Условие

Даны те же точки A(1; - 2) , B(3;6) и C(5; - 2) . Требуется

найти координаты векторов \overrightarrow{AC} и \overrightarrow{BA} ;

найти координаты середины отрезка BC ;

найти длину медианы AM ;

проверить, является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом. Tочка D( - 1;6) .

Решение

Найти координаты векторов \overrightarrow{AC} и \overrightarrow{BA}

\overrightarrow{AC} = \{ 5 - 1;\text{ } - 2 - ( - 2)\} = \{ 4;0\}

\overrightarrow{BA} = \{ 1 - 3;\text{ } - 2 - 6\} = \{ - 2; - 8\}

Как и ожидалось, координаты вектора \overrightarrow{BA} противоположны координатам вектора \overrightarrow{AB} , поскольку эти векторы имеют одинаковые длины и противоположные направления.

Найти координаты середины отрезка BC

Пусть M — середина отрезка BC . Тогда

x_{M} = \frac{3 + 5}{2} = 4

y_{M} = \frac{6 + ( - 2)}{2} = 2

Следовательно, M(4;2) .

Найти длину медианы AM

Рассмотрим вектор \overrightarrow{AM} . Его координаты равны

\overrightarrow{AM} = \{ 4 - 1;\text{ }2 - ( - 2)\} = \{ 3;4\}

Длина медианы равна длине этого вектора:

AM = \left| \overrightarrow{AM} \right| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Пусть теперь дана точка D( - 1;6) . Требуется проверить, является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом.

Мы уже знаем координаты вектора \overrightarrow{BA}\{ - 2; - 8\} . Рассмотрим вектор \overrightarrow{CD} . Его координаты равны

\overrightarrow{CD} = \{ - 1 - 5;\text{ }6 - ( - 2)\} = \{ - 6;8\}

Чтобы два вектора были коллинеарны, их соответствующие координаты должны быть пропорциональны. Проверим отношения координат: \frac{- 6}{- 2} = 3 , а \frac{8}{- 8} = - 1 . Эти отношения не равны, следовательно, векторы \overrightarrow{CD} и \overrightarrow{BA} неколлинеарны. Это означает, что соответствующие противоположные стороны четырёхугольника не параллельны. Следовательно, ABCD не является параллелограммом.

Ответ \overrightarrow{AC} = \left\{ 4;0 \right\},\ \overrightarrow{BA} = \{ - 2; - 8\} ; (4;2) ; 5 ; не является.