Скалярное произведение: Часть 2

Задача 3.7

Условие

Даны четыре вектора: \overrightarrow{m}\{ 4; - 3\} , \overrightarrow{n}\{ 2; - 5\} , \overrightarrow{k}\{ - 3;3\} и \overrightarrow{p}\{ 3; - 5\} . Требуется найти скалярное произведение \left( \overrightarrow{m} + \overrightarrow{n},\overrightarrow{k} - \overrightarrow{p} \right) .

Решение

Поскольку все векторы заданы координатами, сначала вычислим координаты векторов \overrightarrow{m} + \overrightarrow{n} и \overrightarrow{k} - \overrightarrow{p} . Координаты суммы векторов вычисляются как суммы соответствующих координат. Поэтому

\overrightarrow{m} + \overrightarrow{n} = \{ 4 + 2;\text{ } - 3 - 5\} = \{ 6; - 8\}

Координаты разности \overrightarrow{k} - \overrightarrow{p} вычисляются как разности соответствующих координат:

\overrightarrow{k} - \overrightarrow{p} = \{ - 3 - 3;\text{ }3 - ( - 5)\} = \{ - 6;8\}

Теперь скалярное произведение этих двух векторов можно вычислить по координатам:

(\overrightarrow{m} + \overrightarrow{n},\overrightarrow{k} - \overrightarrow{p}) = 6 \cdot ( - 6) + ( - 8) \cdot 8 = - 36 - 64 = - 100

Ответ - 100 .

Задача 3.8

Условие

Даны векторы \overrightarrow{m}\{ 2;6\} , \overrightarrow{n}\{ - 3;1\} , \overrightarrow{k}\{ 4; - 2\} и \overrightarrow{p}\{ 2; - 6\} . Требуется найти скалярное произведение \left( \overrightarrow{m} - \overrightarrow{n},\overrightarrow{k} + \overrightarrow{p} \right) .

Решение

Сначала вычислим координаты каждого из двух векторов.

\overrightarrow{m} - \overrightarrow{n} = \{ 2 - ( - 3);\text{ }6 - 1\} = \{ 5;5\}

\overrightarrow{k} + \overrightarrow{p}\ = \left\{ 4 + 2;\text{ } - 2 + ( - 6)\} = \{ 6; - 8 \right\}

Теперь вычислим скалярное произведение:

(\overrightarrow{m} - \overrightarrow{n},\overrightarrow{k} + \overrightarrow{p}) = 5 \cdot 6 + 5 \cdot ( - 8) = 30 - 40 = - 10

Ответ - 10 .

Задача 3.9

Условие

Даны векторы \overrightarrow{a}\{ - 7;3\} , \overrightarrow{b}\{ - 3;5\} и \overrightarrow{c}\{ - 2;y\} . Требуется найти y , если известно, что ( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b},\overrightarrow{c}) = 0 .

Решение

Сначала вычислим координаты вектора \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} :

\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \{ - 7 - ( - 3);\text{ }3 - 5\} = \{ - 4; - 2\}

Теперь найдём его скалярное произведение с вектором \overrightarrow{c} . Получаем

(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b},\overrightarrow{c}) = ( - 4) \cdot ( - 2) + ( - 2) \cdot y = 8 - 2y

По условию это скалярное произведение равно нулю, поэтому 8 - 2y = 0 . Отсюда 2y = 8 , то есть y = 4 .

Ответ 4 .

Задача 3.10

Условие

Даны три вектора: \overrightarrow{a}\{ - 2;4\} , \overrightarrow{b}\{ - 7;5\} и \overrightarrow{c}\{ x; - 3\} . Требуется найти x , если известно, что векторы \overrightarrow{c} и \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} перпендикулярны.

Решение

Поскольку векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

(\overrightarrow{c},\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 0

Сначала вычислим координаты вектора \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} :

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \{ - 2 - 7;\text{ }4 + 5\} = \{ - 9;9\}

Теперь вычислим скалярное произведение в координатах:

(\overrightarrow{c},\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = x \cdot ( - 9) + ( - 3) \cdot 9 = - 9x - 27

По условию - 9x - 27 = 0 . Отсюда - 9x = 27 , следовательно, x = - 3 . Таким образом, значение x , при котором вектор \overrightarrow{c} перпендикулярен сумме векторов \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} , равно - 3 .

Ответ - 3 .

Косинус угла между векторами

Задача 3.11

Условие

Даны два вектора: \overrightarrow{a}\{ 2; - 2\} и \overrightarrow{b}\{ - 3;3\} . Требуется найти косинус угла между ними.

Решение

По определению скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = \mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid cos\alpha

\alpha = \angle\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = \widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}

Следовательно, косинус угла можно выразить следующим образом:

\cos\alpha = \frac{\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)}{\mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid}

Сначала вычислим скалярное произведение векторов по координатам:

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 2 \cdot ( - 3) + ( - 2) \cdot 3 = - 6 - 6 = - 12

Длина вектора \overrightarrow{a} равна \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} .

Длина вектора \overrightarrow{b} равна \mid \overrightarrow{b} \mid = \sqrt{\left( - 3)^{2} + 3^{2} \right.\ } = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} .

Подставим полученные значения:

\cos\alpha = \frac{- 12}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{- 12}{12} = - 1

Таким образом, косинус угла между векторами равен - 1 . Если бы требовалось найти сам угол, то \alpha = 180^{\circ} .

Ответ - 1 .

Задача 3.12

Условие

Даны два вектора: \overrightarrow{p}\{ - 9; - 12\} и \overrightarrow{q}\{ - 3;4\} . Требуется найти косинус угла между векторами \overrightarrow{p} и \overrightarrow{q} .

Решение

Пусть \alpha = \angle\left( \overrightarrow{p},\overrightarrow{q} \right) . Используем формулу

\cos\alpha = \frac{\left( \overrightarrow{p},\overrightarrow{q} \right)}{\mid \overrightarrow{p} \mid \cdot \mid \overrightarrow{q} \mid}

Сначала вычислим скалярное произведение: (\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}) = ( - 9) \cdot ( - 3) + ( - 12) \cdot 4 = 27 - 48 = - 21

Длина вектора \overrightarrow{p} равна \mid \overrightarrow{p} \mid = \sqrt{\left( - 9)^{2} + ( - 12)^{2} \right.\ } = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15

Длина вектора \overrightarrow{q} равна \mid \overrightarrow{q} \mid = \sqrt{\left( - 3)^{2} + 4^{2} \right.\ } = \sqrt{9 + 16} = 5

Тогда

\cos\alpha = \frac{- 21}{15 \cdot 5} = \frac{- 7}{5 \cdot 5} = - \frac{7}{25} = - \frac{28}{100} = - 0,28

Ответ - 0,28 .

Задача 3.13

Условие

Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны соответственно 11 и 7 , а их скалярное произведение равно 53 . Требуется найти длину вектора \overrightarrow{c} , если \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} .

Решение

Нам неизвестен угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , однако он связан со скалярным произведением и длинами этих векторов. По определению (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = \mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid cos\alpha . Следовательно,

\cos\alpha = \frac{(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}{\mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid} = \frac{53}{11 \cdot 7}

Теперь рассмотрим вектор \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} . Изобразим векторы \overrightarrow{a} и 2\overrightarrow{b} из общего начала и сложим их по правилу параллелограмма. Вектор \overrightarrow{c} будет направлен вдоль диагонали этого параллелограмма.

image.png Рассмотрим получившийся треугольник ABC . Пусть сторона AB равна длине вектора \overrightarrow{a} , то есть AB = \mid \overrightarrow{a} \mid = 11 , сторона BC равна удвоенной длине вектора \overrightarrow{b} , то есть BC = 2 \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid = 2 \cdot 7 = 14 , а сторона AC равна длине вектора \overrightarrow{c} , AB = \mid \overrightarrow{c} \mid

Угол между сторонами AB и BC обозначим через \beta . Он является смежным с углом \alpha между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , поэтому \beta = 180^{\circ} - \alpha . Следовательно,

\cos\beta = - \cos\alpha = - \frac{53}{11 \cdot 7}

Теперь применим теорему косинусов к стороне AC : AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\beta

AC^{2} = 11^{2} + 14^{2} - 2 \cdot 11 \cdot 14 \cdot \left( - \frac{53}{11 \cdot 7} \right)

AC^{2} = 121 + 196 + 4 \cdot 53 = 121 + 196 + 212 = 529

Поскольку 529 = 23^{2} , имеем AC = 23 . Но AC — это длина вектора \overrightarrow{c} . Следовательно, \mid \overrightarrow{c} \mid = 23.

Ответ 23 .