Скалярное произведение: Часть 3

Задача 3.14

Условие

Даны векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , длины которых равны соответственно 5 и 8 . Их скалярное произведение по условию равно 12 . Требуется найти длину вектора \overrightarrow{c} , если \overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} .

Решение

Для начала изобразим векторы. Чтобы построить вектор \overrightarrow{c} , нам нужно утроить вектор \overrightarrow{a} , получив 3\overrightarrow{a} , и сложить его с вектором \overrightarrow{b} по правилу параллелограмма. Вектор \overrightarrow{c} будет направлен вдоль диагонали этого параллелограмма.

image.png Рассмотрим соответствующий треугольник ABC . В нём сторона AB равна длине вектора \overrightarrow{b} , сторона BC равна трём длинам вектора \overrightarrow{a} , а сторона AC равна длине вектора \overrightarrow{c} .

Эти три стороны связаны теоремой косинусов. Осталось определить угол между сторонами AB и BC . Пусть \alpha — угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} , а \beta — угол между соответствующими сторонами треугольника. Эти углы в сумме дают 180^{\circ} , поэтому \beta = 180^{\circ} - \alpha , а значит, \cos\beta = - \cos\alpha .

Косинус угла \alpha можно найти с помощью скалярного произведения:

\cos\alpha = \frac{\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)}{\mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid} = \frac{12}{5 \cdot 8}

\cos\beta = - \frac{12}{5 \cdot 8}

Теперь применим теорему косинусов:

AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\beta

Подставляем известные значения:

AC^{2} = 8^{2} + 15^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 15\left( -\frac{12}{5 \cdot 8} \right)

После сокращения получаем

AC^{2} = 64 + 225 + 72 = 361 = 19^{2}

Следовательно, AC = 19 . Поскольку AC — это длина вектора \overrightarrow{c} , получаем \mid \overrightarrow{c} \mid = 19 .

Ответ 19 .

Задача 3.15

Условие

Даны векторы \overrightarrow{a}\{ 4;y\} и \overrightarrow{b}\{ x;0\} . Косинус угла между ними равен \frac{2}{\sqrt{5}} . Требуется найти y . Если таких значений несколько, в ответ нужно записать меньшее из них.

Решение

Скалярное произведение векторов, с одной стороны, равно произведению их длин на косинус угла, а с другой стороны, может быть вычислено по координатам. В координатах получаем

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 4x + 0 \cdot y = 4x

Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны

\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{16 + y^{2}}

\mid \overrightarrow{b} \mid = \sqrt{x^{2} + 0^{2}} = \mid x \mid

Следовательно,

\sqrt{16 + y^{2}} \cdot \mid x \mid \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4x

Здесь важно, что x \neq 0 , поскольку при x = 0 вектор \overrightarrow{b} был бы нулевым, а угол между нулевым и ненулевым векторами не определён. Поэтому возможны два случая: x > 0 или x < 0 .

Случай 1: x > 0

Если x > 0 , то \mid x \mid = x . Делим обе части уравнения на x и получаем

\sqrt{16 + y^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4

Отсюда \sqrt{16 + y^{2}} = 2\sqrt{5} . Возводим обе части в квадрат: 16 + y^{2} = 20 , следовательно, y^{2} = 4 . Получаем два возможных значения: y = 2 или y = - 2 .

Случай 2: x < 0

Если x < 0 , то \mid x \mid = - x . После деления на x получаем

- \sqrt{16 + y^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4

Левая часть этого равенства отрицательна, а правая положительна, поэтому такое равенство невозможно. Следовательно, во втором случае решений нет.

Таким образом, возможны два значения y : 2 и - 2 . По условию необходимо указать меньшее из них.

Ответ - 2 .

Задача 3.16

Условие

Даны два вектора: \overrightarrow{a}\{ x; - 2\} и \overrightarrow{b}\{ 0;y\} . Известно, что косинус угла между этими векторами равен \frac{1}{\sqrt{5}} . Требуется найти x . Если таких значений несколько, в ответе нужно указать меньшее из них.

Решение

Запишем скалярное произведение двумя способами. По координатам

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = x \cdot 0 + ( - 2)y = - 2y

С другой стороны, скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними,

(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = \mid \overrightarrow{a} \mid \cdot \mid \overrightarrow{b} \mid cos\alpha

Длина вектора \overrightarrow{a} равна \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{x^{2} + 4} , а длина вектора \overrightarrow{b} равна \mid \overrightarrow{b} \mid = \mid y \mid . Следовательно,

\sqrt{x^{2} + 4} \cdot \mid y \mid \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = - 2y

Как и в предыдущей задаче, y \neq 0 , поскольку иначе вектор \overrightarrow{b} был бы нулевым и угол между векторами не был бы определён. Рассмотрим два случая.

Случай 1: y > 0

Если y > 0 , то \mid y \mid = y . После сокращения на y получаем \sqrt{x^{2} + 4} = - 2\sqrt{5} . Левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому такое равенство невозможно. В этом случае решений нет.

Случай 2: y < 0

Если y < 0 , то \mid y \mid = - y . После раскрытия модуля и сокращения получаем \sqrt{x^{2} + 4} = 2\sqrt{5} . Возводим обе части в квадрат: x^{2} + 4 = 20 , откуда x^{2} = 16 . Следовательно, x = 4 или x = - 4 .

Оба значения подходят, но по условию требуется указать меньшее из них.

Ответ - 4 .

Угол между диагоналями четырёхугольника

Задача 3.17

Условие

В четырёхугольнике ABCD заданы координаты вершин: A(3;3) , B(1;5) , C(4,5;5,5) , D(6;2) . Требуется найти угол между диагоналями и указать ответ в градусах.

Решение

Угол между диагоналями — это угол между прямыми AC и BD . Напомним, что углом между прямыми считается меньший из углов, образующихся при их пересечении. Чтобы найти этот угол, введём векторы, направленные вдоль диагоналей: \overrightarrow{AC} и \overrightarrow{BD} .

image.png Найдём координаты вектора \overrightarrow{AC} :

\overrightarrow{AC} = \{ 4,5 - 3;\text{ }5,5 - 3\} = \{ 1,5;2,5\}

Координаты вектора \overrightarrow{BD} равны

\overrightarrow{BD} = \{ 6 - 1;\text{ }2 - 5\} = \{ 5; - 3\}

Вычислим их скалярное произведение:

(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}) = 1,5 \cdot 5 + 2,5 \cdot ( - 3) = 7,5 - 7,5 = 0

Поскольку оба вектора ненулевые и их скалярное произведение равно нулю, они перпендикулярны. Следовательно, диагонали AC и BD также перпендикулярны. Значит, угол между диагоналями равен 90^{\circ} .

Ответ 90^{\circ} .

Замечание. Если бы скалярное произведение получилось отличным от нуля, дальнейшие действия были бы следующими. Нужно было бы вычислить длины векторов \overrightarrow{AC} и \overrightarrow{BD} , а затем воспользоваться формулой

\cos\alpha = \frac{\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD} \right)}{\mid \overrightarrow{AC} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BD} \mid}

Здесь важно помнить о различии между углом между векторами и углом между прямыми. Если полученный косинус положителен, угол между векторами острый и совпадает с углом между прямыми. Если косинус отрицателен, угол между векторами тупой, а в качестве угла между прямыми необходимо взять смежный с ним острый угол.

Задача 3.18

Условие

В четырёхугольнике ABCD заданы вершины A( - 3; - 2) , B(2; - 3) , C(9;6) и D(4;7) . Требуется найти угол между диагоналями.

Решение

Рассмотрим векторы, направленные вдоль диагоналей и вычислим их координаты

\overrightarrow{AC} = \left\{ 9 - ( - 3);\text{ }6 - ( - 2)\} = \{ 12;8 \right\} \overrightarrow{BD} = \left\{ 4 - 2;\text{ }7 - ( - 3)\} = \{ 2;10 \right\} Вычислим их скалярное произведение по координатам:

(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}) = 12 \cdot 2 + 8 \cdot 10 = 24 + 80 = 104

Скалярное произведение отлично от нуля, поэтому вычислим длины векторов. Длина \overrightarrow{AC} равна \left| \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{12^{2} + 8^{2}} = \sqrt{208} , а длина \overrightarrow{BD} равна \left| \overrightarrow{BD} \right| = \sqrt{2^{2} + 10^{2}} = \sqrt{104} .

По определению скалярного произведения

104 = \sqrt{208} \cdot \sqrt{104} \cdot \cos\alpha

Поскольку 208 = 2 \cdot 104 , получаем \sqrt{2}\cos\alpha = 1 . Следовательно, \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} . Это табличное значение косинуса, соответствующее углу 45^{\circ} . Кроме того, косинус положителен, поэтому угол между векторами острый и совпадает с углом между диагоналями. Таким образом, угол между диагоналями равен 45^{\circ} .

Ответ 45^{\circ} .

Замечание. Обратим внимание ещё на один момент. Здесь мы использовали вектор \overrightarrow{BD} . Если вместо него взять противоположно направленный вектор \overrightarrow{DB} , знаки обеих его координат изменятся, а скалярное произведение станет отрицательным. В результате угол между векторами получится тупым. Однако угол между прямыми останется тем же: в качестве него нужно будет взять смежный острый угол.

Таким образом, независимо от выбранного направления вектора вдоль диагонали угол между самими диагоналями будет равен 45^{\circ} .