Экономические линейные задачи часть 2

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 4 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Для рытья котлована первоначально предполагалось использовать звено экскаваторов одной модели, однако перед началом работы в звено было добавлено еще $4$ экскаватора той же модели. В результате котлован был вырыт на $3$ часа ранее первоначально запланированного срока. Определите время, за которое котлован мог быть вырыт одним экскаватором, если в этом случае, при расходе топлива $20$ кг/час, необходимое для работы экскаватора количество топлива находится в пределах от $1,2$ до $1,71$ тонн. Решение. Пусть $x$ — производительность одного экскаватора, $N$ — количество экскаваторов в звене ($N$ — натуральное число). Их общая плановая производительность равна $Nx$, а фактическая $(N+4)x$. Тогда из условия задачи следует, что $$ \cfrac{1}{Nx} - \cfrac{1}{(N+4)x}=3. $$ При этом один экскаватор вырыл бы котлован за $t=\cfrac{1}{x}$ ч, израсходовав при этом $20t$ кг топлива. Тогда $1200\leqslant 20t\leqslant 1710$. Преобразовав уравнение и подставив в него $t=\cfrac{1}{x}$ получим: $$ 4t=3N(N+4).$$ Тогда из неравенства следует, что $$ 240\leqslant 3N(N+4)\leqslant 342. $$ Решая систему квадратных неравенств, получаем, что $N$ находится в диапазоне примерно от $7,2$ до $8,9$ следовательно, $N=8$. Отсюда $t=\cfrac{1}{4}\cdot 3\cdot 8 \cdot 12 =72$ ч. Ответ: $72$ ч.