Экономические нелинейные задачи часть 1

Семинар 3 Нелинейные задачи Рассмотрим далее примеры нелинейных задач на оптимизацию. В таких задачах нелинейность проявляется в зависимости объема производимого товара от затраченных ресурсов. Соответственно, целевая функция также оказывается нелинейной. В этом случае, как правило, оказывается удобным использовать аппарат производной. Задача 1 В двух областях есть по $100$ рабочих, каждый из которых готов трудиться по $10$ часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает $0,3$ кг алюминия или $0,1$ кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на $1$ кг алюминия приходится $1$ кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Решение. В каждой из областей общий объем работ составит по $100\cdot 10 = 1000$ чел-ч в сутки. Пусть в первой области $p$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $(1000 - p)$ чел-ч — на добычу никеля, при этом 1 чел-ч на первой шахте приносит $0,3$ кг алюминия или $0,1$ кг никеля. Во второй области $x^2$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $y^2$ чел-ч — на добычу никеля. При этом $x^2+y^2=1000$, откуда $y=\sqrt{1000-x^2}$. В соответствии с условием, во второй области добываются $x$ кг алюминия и $y$ кг никеля. Тогда массы добытых за сутки алюминия и никеля в обеих областях будут соответственно равны $$ \begin{array}{l} m_{Al} = 0,3 \cdot p + x, \\ m_{Ni} = 0,1 (1000 - p) + y. \end{array} $$ Поскольку в сплаве массы алюминия и никеля относятся как $1:1$, получим уравнение $$ 0,3 \cdot p + x = 0,1 (1000 - p) + y, $$ откуда выразим $0,6p = 150+1,5y-1,5x$. Поскольку массы алюминия и никеля в сплаве одинаковые, масса сплава, равная сумме масс алюминия и никеля, оказывается равной удвоенной массе алюминия $$ M = 0,3 \cdot p + x + 0,1 (1000 - p) + y=2\cdot (0,3 \cdot p + x)=0,6p+2x. $$ Изпользуя выражения $p$ через $x$ и $y$, а также $y$ через $x$, получим $$ M(x) = 150+1,5\sqrt{1000-x^2}+0,5x. $$ Для того, чтобы найти максимально возможное значение массы сплава, найдем производную полученной функции и приравняем ее к нулю: $$ M'(x) = \cfrac{3}{2}\cfrac{-2x}{\sqrt{1000-x^2}}+\cfrac{1}{2} = 0. $$ Решением этого уравнения является значение $x = 10$ (отрицательный корень не подходит по смыслу), которое обеспечивает максимум массы сплава ($M'(x) > 0$ при $x 10$). Отсюда $M_{max} = M(10) = 200.$ Ответ: $200$.