Кредиты. Аннуитетные и смешанные платежи

Семинар 7 Задача 1 Светлана Михайловна взяла кредит в банке на $4$ года на сумму $4\,420\,000$ рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на $10%$. Светлана Михайловна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами — в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей? Решение. Пусть сумма кредита $A = 4\,420\,000$, процентная ставка $r=10%$, коэффициент $k=1+\cfrac{r}{100}=1,1$. Поскольку платежи осуществляются раз в два года, то между платежами банк дважды начисляет проценты на остаток долга: $$ \left( Ak^2 - x \right)\cdot k^2 - x = 0, $$ откуда $$ x = \cfrac{Ak^4}{1+k^2} = 2\,928\,200. $$ Ответ: $2\, 928\, 200$ рублей. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 2 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Агата Артуровна взяла кредит в банке на $4$ года на сумму $7\,320\,000$ рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на $20%$. Агата Артуровна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами — в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей? Решение. Пусть сумма кредита $A = 7\,320\,000$, процентная ставка $r=20%$, коэффициент $k=1+\cfrac{r}{100}=1,2$. Поскольку платежи осуществляются раз в два года, то между платежами банк дважды начисляет проценты на остаток долга: $$ \left( Ak^2 - x \right)\cdot k^2 - x = 0, $$ откуда $$ x = \cfrac{Ak^4}{1+k^2} = 6\,220\,800. $$ Ответ: $6\,220\,800$ рублей. Задача 3 Анатолий решил взять кредит в банке $331\,000$ рублей на $3$ месяца под $10%$ в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на $10%$), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи). По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на $10%$, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода? Решение. Пусть в кредит взята сумма $A = 331\,000$ рублей, процентная ставка $r=10%$, коэффициент $k=1+\cfrac{r}{100}=1,1$. Для аннуитетных платежей получим уравнение $$ ((Ak-x)k-x)k-x=0, $$ откуда $$ x = \cfrac{Ak^3}{1+k+k^2} = \cfrac{331\,000 \cdot (1,1)^3}{1+1,1+(1,1)^2}=133\,100,$$ а сумма выплат в этом случае равна $S_1=3x=399\,300$ рублей. Для дифференцированных платежей составим таблицу. долг с % выплаты остаток долга 0-й $A=3y$ 1-й $3y+0,1\cdot 3y$ $y+0,1\cdot 3y$ $A-y=2y$ 2-й $2y+0,1\cdot 2y$ $y+0,1\cdot 2y$ $A-2y=y$ 3-й $y+0,1\cdot y$ $y+0,1\cdot y$ $A-3y=0$ В этом случае общая сумма выплат равна $$ S_2=3y+0,1(y+2y+3y)=A+0,2A=1,2 A = 397\,200. $$ Разность платежей по первой и второй схеме $$ S_1-S_2= 399\,300 - 397\,200 = 2100. $$ Таким образом, вторая схема выгоднее на 2100 рублей. Ответ: выгоднее вторая схема. $2100$ рублей.