Экономические линейные задачи часть 2

Семинар 2 Задача 1 В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется $20$ рабочих, каждый из которых готов трудиться $5$ часов в день. При этом один рабочий за час добывает $1$ кг алюминия или $2$ кг никеля. Во второй шахте имеется $100$ рабочих, каждый из которых готов трудиться $5$ часов в день. При этом один рабочий за час добывает $2$ кг алюминия или $1$ кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на $2$ кг алюминия приходится $1$ кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Решение. Для удобства будем использовать условную единицу измерения работы — человекочас (чел-ч). На первой шахте общий объем работ составит $20\cdot 5 = 100$ чел-ч в день, а на второй $100\cdot 5 =500$ чел-ч. Пусть в первой шахте $x$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $(100 - x)$ чел-ч — на добычу никеля, при этом 1 чел-ч на первой шахте приносит $1$ кг алюминия или $2$ кг никеля. Во второй шахте $y$ чел-ч выделяются на добычу алюминия, а $(500 - y)$ чел-ч — на добычу никеля, при этом 1 чел-ч на второй шахте приносит $2$ кг алюминия или $1$ кг никеля. Тогда массы добытых за сутки алюминия и никеля будут соответственно равны $$ \begin{array}{l} m_{Al} = x + 2y, \\ m_{Ni} = 2\cdot (100 - x) + 500 - y. \end{array} $$ Поскольку в сплаве массы алюминия и никеля относятся как $2:1$, получим уравнение $$ x + 2y = 2 (200 - 2x +500-y), $$ откуда $y = 350 - \cfrac{5}{4} x$. Масса сплава равна сумме масс алюминия и никеля, следовательно, $$ M = x + 2y + 2\cdot (100 - x) + 500 - y = 700 - x + y= 700-x+350 - \cfrac{5}{4} x=1050-\cfrac{9}{4} x. $$ Масса произведенного сплава является линейно убывающей функцией переменной $x$. Значит, для максимальной массы сплава величина $x$ должна быть минимально возможной. По смыслу задачи величины $x$ и $y$ должны принимать неотрицательные значения, удовлетворяющие условиям $$ \left\{\begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 100,\\ 0 \leqslant y \leqslant 500,\\ \end{array} \right. $$ кроме этого из условия связи $x$ и $y$ и этих ограничений следует еще одно неравенство $225\leqslant y \leqslant 350$. Отсюда, выбирая величину $x$ минимально возможной $x=0$, получим $M = 1050$ кг. Ответ: $1050$ кг.