Финансовые задачи

Семинар 5 Финансовые задачи Задача 1.1 Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит $2$ млн руб. Вася может купить ее в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придется $20$ лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на $260%$ превышающую исходную. Вместо этого, Вася может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды — $14$ тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съемную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не изменится? Решение. Предположим, что Вася купил квартиру в кредит, который он должен погасить за $20$ лет, то есть за $240$ ежемесячных платежей. Сумма, которую он выплатит в этом случае, равна $$ \left(1+\frac{260}{100}\right)\cdot 2 млн. руб=7,2 млн. руб=7200 тыс. руб . $$ Тогда в месяц он будет платить $\cfrac{7200}{240}=30$ тыс. руб. Если Вася будет платить за аренду квартиры $y=14$ тыс. руб. в месяц, то он экономит каждый месяц $x-y=16$ тыс. руб. Количество месяцев, за которое он сможет накопить на квартиру, $n\geqslant\cfrac{2000}{16} = 125$. Значит, через $125$ месяцев, то есть за 10 лет и 5 месяцев Вася сможет купить квартиру. Ответ: $125$. Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. Если не получится — посмотрите её решение. Задача 1.2 (ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ) Решите предыдущую задачу при условии, что цена квартиры не меняется, но месячная арендная плата повышается на $1000$ рублей каждые пять лет. Решение. В первые 5 лет (60 месяцев) арендная плата равна $y_1=14$ тыс. руб. Во вторые 5 лет (следующие 60 месяцев) арендная плата равна $y_2=15$ тыс. руб. Поскольку из предыдущей задачи мы знаем, что ему нужно копить больше 10 лет, значит вторые 5 лет точно пройдут, и в это время он сможет откладывать меньше, чем в случае неизменной арендной платы. В первые 5 лет Вася будет экономить каждый месяц $x-y_1=16$ тыс. руб., во вторые 5 лет — $x-y_2=15$ тыс. руб. За первые 10 лет Вася накопит $60\cdot 16 + 60\cdot 15=1860$ тыс. руб. К этому моменту до покупки квартиры ему нужно будет накопить еще $140$ тыс. руб. В это время арендная плата стане равной $y_3=16$ тыс. руб., и Вася сможет откладывать по $x-y_3=14$ тыс. руб. ежемесячно. Значит, накопить $140$ тыс. руб. он сможет за 10 месяцев. Тогда общее количество месяцев, за которое он сможет накопить на квартиру, равно $60+60+10=130$ месяцев, то есть 10 лет и 10 месяцев. Ответ: 10 лет 10 месяцев. Задача 1.3 Алексей приобрёл ценную бумагу за $7$ тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на $2$ тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на $10%$. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей? Решение. Отметим, что по условию задачи стоимость ценной бумаги возрастает линейно, а сумма на банковском счете растет экспоненциально. Отсюда следует, что если в какой-то момент скорость роста суммы на счете станет больше скорости роста цены бумаги, то и в дальнейшем держать деньги на счете будет выгоднее. Цена бумаги в год с номером $n$ будет равна $p_n=7000+2000(n-1)$. Продать ценную бумагу нужно в течение года с таким номером, за который процент по вкладу превысит $2000$ рублей, то есть $0,1p_n \geqslant 2000$ или $p_n \geqslant 20\,000$. Получим неравенство $$7000+2000(n-1) \geqslant 20\,000,$$ откуда $n \geqslant 7,5$, то есть минимальный целый номер года будет равен 8. Так как исходная цена бумаги $7$ тыс. рублей, и каждый год она возрастает на $2$ тыс. рублей, то к началу седьмого года цена составит $19$ тыс. рублей, и продавать ее еще невыгодно; к началу же восьмого года цена составит $21$ тыс. рублей, и доход в банке с этой суммы будет $2100$ рублей, то есть превысит сумму, на которую увеличивается стоимость ценной бумаги. Следовательно, продавать ценную бумагу нужно в течение восьмого года. Ответ: в течение восьмого года.